28. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость этой темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.

Порядок знакомство с уравнениями и неравенствами :

• Общие сведения об уравнениях, неравенствах и их системах. Равносильные уравнения и неравенства. ОДЗ. Общие методы решения уравнений. Алгебраические уравнения. Примеры.

• Методы решения неравенств. Числовые неравенства и их свойства. Дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов и свойство непрерывности.

• Методы решения систем уравнений. Алгебраические уравнения и их системы. Метод подстановки при решении систем уравнений. Симметрические и однородные системы.

• Ирр уравнения и неравенства. Методы решения ирр уравнений и неравенств и их систем. Уравнения и неравенства с модулем.

• Триг уравнения и неравенства. Методы решения триг уравнений и неравенств и их систем.

• Лог и пок уравнения и неравенства. Методы решения лог и пок уравнений и неравенств и их систем.

• Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Триг подстановки. Векторы в алгебре.

• Уравнения и неравенства с параметром. Примеры решения уравнений и неравенств с параметром. Геом интерпретации.

24. Логическое мышление учащихся при обучении математике

В процессе изучения математики развивается математическое мышление. Ему свойственны качества присущие научному мышлению.

Мышление – сложнейшая и многосторонняя психическая деятельность, поэтому выделение его видов осуществляется по разным основаниям. По характеру решаемых задач и зависимости от направленности на практику или теорию можно говорить о теоретическом и практическом мышлении. По степени развернутости и характеру протекания процесса мышления выделяют дискурсивное (умозаключительное) и интуитивное мышление. По степени новизны и оригинальности и если за основу брать характер результатов мышления, выделяют репродуктивное (воспроизводящее) и продуктивное мышление. Кроме того, мышление разделяется по действию контроля на критическое и некритическое.

Необходимо развивать у школьников особые формы проявления математического мышления.

1. Логическое мышление. Оно характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи из некоторого общего положения, теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Логическое мышление проявляется и развивается у учащихся, прежде всего, в ходе различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, при доказательстве теорем, обосновании решения задач и т. д.

2. Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.

3. Пространственное воображение характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними различные операции.

4. Интуитивное мышление. Опытный учитель всегда уделяет должное внимание развитию у школьников сообразительности, способности к догадке

Развитие мышления при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы, которые необходимы для решения творческих задач, применение знаний в новых ситуациях, доказательства высказываемых утверждений.

Системное развитие логического мышления должно быть неотрывно от урока, каждый ученик должен принимать участие в процессе решения не только стандартных заданий, но и задач развивающего характера (активно или пассивно).

На уроках учитель должен моделировать ту умственную деятельность, которая нужна на данном этапе развития (учить анализировать задачи, делать чертежи, выявлять отношения объектов и т.д.). Это имеет обучающее и воспитывающее значение: учащиеся приобщаются к методу поиска, ориентируются не только на результат, но и на процесс его достижения, т.е. учатся мыслить логически.

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, т.к. в большинстве своем эти задачи не привязаны к темам и не требуют особой теоретической подготовки.

Задачи на переливание, логические задачи, ребусы, задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Задачи на аналогию и исключение лишнего используются для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

Для развития логического мышления учащихся нужно учитывать следующее:

1.Выбранные задания должны быть посильными для детей;

2.Задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

3.Если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;

4.Ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;

5.Если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка.

----->>>

Исследование решения является наиболее трудной задачей, чем все предыдущие этапы. В процессе исследования устанавливаются условия, при которых задача имеет решение и выясняется, сколько при этих условиях различных решений имеет задача.

Задачи на построение в стереометрии бывают двух видов: воображаемые (условные построения); построение на проекционном чертеже. Пространственная фигура изображается плоским рисунком, который во многом является условным. Поэтому воображаемое построение проводится мысленно. Поэтому задачи на построение имеют важное значение для развития пространственного мышления учащихся. Основные воображаемые построения в пространстве: построение прямых (плоскостей), параллельных (перпендикулярных) заданным прямым (плоскостям).