32. Методика изучения геометрических построений.

К задачам на построение относятся те, в которых по некоторым элементам требуется построить некоторую фигуру. При этом существенным является условие, с помощью чего строим. Чаще в школе построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Планиметрия ( содержание геом. построений): понятие о задаче на построение; построение треугольника по заданным сторонам; построение угла равного данному; построение биссектрисы угла; построение прямой, перпендикулярной данной прямой.

При решении задач на построение используется метод научного познания как нисходящий анализ, при котором искомая фигура считается построенной, т.е., существующей. Такая форма анализа требует обратного хода рассуждений. Поэтому схема решения задачи на построение включает в себя этапы: анализ, построение, доказательство, исследование. Убедить учащихся в необходимости анализа можно при решении такой задачи, в которой не очевиден способ построения.

Анализ - вывод следствий из допущения о существовании фигур с заданными свойствами. Вывод необходимых условий продолжается до тех пор, пока не будут получены такие условия, которые позволяют построить искомую фигуру.

Существенно новым для учащихся является требование доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи. Следует показать учащимся, что в зависимости от способа построения меняются и те положения, на кот. можно опираться при доказательстве.

26. Учение о функциях в школьном курсе математики.

Введение понятия функции ведётся по трём основным направлениям: 1) упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат); 2) глубокое изучение отдельных функций и их классов; 3) расширения области приложения алгебры за счёт включения в неё идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Методические схема изучения функции.

1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.

2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).

3. Составить таблицу значений функции и построить "по точкам" её график.

4. Провести исследование основных свойств функции

5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

Особенность схемы-исследования функции имеет наглядно-геометрический подход, аналитическое исследование имеет ограниченный характер. Схема применима в изучении линейной, квадратичной, степенной и других функций, с которыми учащиеся знакомятся в курсе алгебры.

Методика введения линейной функции

Первый способ: использование загущения точек на графике. а) нанесение нескольких точек; б) наблюдение – все построенные точки расположены на одной прямой; в) проверка – берём произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значения функции; г) наносим точку на координатную плоскость – она принадлежит построенной прямой. Такой приём приведёт к пониманию того, что график любой линейной функции – прямая (выделение одного из свойств линейной функции), на его проведение потребует очень много времени и общие свойства формулируется на изолированных примерах.

Второй способ: по двум точкам. Для изучения класса линейных функций в совокупности его общих свойств перед учащимися ставится познавательная задача исследовать класс функций в зависимости от параметров, здесь лучше всего рассмотреть несколько функций с различными параметрами,

Например, изучая геометрический смысл коэффициентов при переменной, отличаем одинаковость углов наклонов к оси , чем меньше этот коэффициент, тем меньший угол наклона образует прямая с осью. После этого формулируется вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента и вводится понятие "угловой коэффициент".

Класс квадратичных функций.

Изучение класса квадратичных функций основано на преобразовании к виду : a(x-b) +с, использовании геометрических для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения – графика функции . Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратичными уравнениями и неравенствами.

Класс квадратичных функций начинается с изучения функции и выяснения смысла коэффициента а (геометрического). Затем вводятся функции вида и выясняется смысл второго коэффициента (например, как перенос по оси у ).

Вводится понятие элементарных функций. Элементарные функции: целые, рациональные, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и их комбинации. В классе элементарных функций имеются две группы операций: Понятие обратной функции, понятие непрерывности

При изучении функций в X-XI классах большее предпочтение отдаётся аналитическому исследованию. Замечание: Знакомя учащихся со свойствами функции, следует помнить, что не все из них являются достаточно наглядными, поэтому не всегда график функции может подсказать их ученику.

---->>

огранич. ни снизу, ни сверху., 6. не имеет ни наим., ни наиб. зн-я, 7. непрерывна на , В точках вида x= , фун-я терпит разрыв→эти прямые будут вертикальными асимптотами., 8. E(f)= (-∞:+∞). y=ctgx

Уч-ся предлагается самостоятельно построить график ф-и y=-tg(x+ /2).

После этого обосновывается, что построили график фун-и y=ctgx, т.к. ctgx=-tg(x+ /2).

Уч-ся сами могут описать св-ва y=ctgx, опираясь на св-ва tgx и построенный график.