Входящий поток требований

Очередь

Выходящий поток требований

Рис. 2

Пока обслуживается очередь из требований в течение времени вновь поступит на обслуживание требований:

Аналогично, пока будут обслуживаться требований в течение времени дополнительно поступит на обслуживание требований:

Это происходит до тех пор, пока , после чего очередь исчезнет.

Весь процесс функционирование системы представим в аналитическом виде.

Построение математической модели:

Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в виде:

Исследование математической модели:

Для определения времени, через которое очередь исчезнет, необходимо раскрыть математическую модель:

В модели использована формула суммы геометрической прогрессии.

Чем ближе интенсивность потока к интенсивности обслуживания , так через больший промежуток времени исчезнет очередь (при ). Членом можно для упрощения расчетов пренебречь, тогда .

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.

Задача синтеза (оптимизации) одноканальной замкнутой системы массового обслуживания формулируется следующим образом.

Пусть известны характеристики канала обслуживания и характеристики требований, поступающих на обслуживание. Требуется определить оптимальную структуру системы, т.е. оптимальное число требований , необходимых для обслуживания канала, чтобы эффективность системы была максимальной.

В качестве критерия оптимизации может быть приняты удельные приведенные затраты, характеризующие затраты всей системы на одно обслуживание.

2. Модели управления запасами

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

1. необходимость гарантирования бесперебойного питания производственного процесса с целью обеспечения его непрерывности;

2. периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;

3. особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъемности транспортных средств и размеров потребления);

4. несовпадение ритма производства и поставок производственных ресурсов с ритмом их потребления.

Задача управления запасами в общем случае формируется так.

Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является сумма издержек на хранение и поставку ресурсов.

В общем случае задача управления запасами сводятся к задачам линейного программирования, общих методов решения которых нет.

Существует множество постановок задачи управления запасами.

Рассмотрим самую простую: однопродуктовую детерминированную задачу управления запасами.

Постановка задачи и выбор критерия оптимизации:

Пусть месячная потребность предприятия в каком-либо материале (песок, щебень, цемент и т.д.) составляет Q условных единиц. Расход этого материала во времени происходит равномерно. Необходимо определить: каков должен быть размер поставки материалов, чтобы суммарные затраты на создание и хранение запаса были минимальны.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.

Обозначим - затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, а - затраты на доставку партии материалов. Пусть затраты не зависят от количества материалов в поставляемой партии. Предполагается, что все партии состоят из одинакового числа единиц материала, S – величина поставок.

Движение запасов в течение времени Т (месяца) можно изобразить графически:

t – промежуток времени (период) от момента поставки партии материала до момента ее израсходования.

S

t

t

t

t

T

(мгновенное время пополнения запасов)

Количество необходимых поставок партии для удовлетворения месячной потребности в материале:

Построение математической модели

Суммарные месячные расходы на хранение материала и доставку за период Т.

Исследование математической модели

Продифференцировав целевую функцию относительно и приравняв производную нулю, получим

откуда

Это выражение называется формулой Вильсона, из которой можно устанавливать оптимальный размер поставок. С помощью этой функции можно установить и оптимальные моменты времени пополнения запасов.

Лекция 10