Завдання №4 на самостійну роботу

1. Для 3-х пояснюючих змінних обчислено кореляційну матрицю r. Чи існує в масиві змінних мультиколінеарність?

2. За матрицею оцінити мультиколінеарність змінних за T-, F- критеріями для 20 спостережень і 95% надійності:

Тема: Гетероскедастичність моделі

1. Поняття гетероскедастнчності та її наслідки

В специфікації класичної економетричної моделі значення ε вектора відхилень Е незалежні між собою і мають стaлу дисперсію, тобто

Цю властивість відхилень називають гомоскедастичністю і вона є однією з обов'язкових умов для застосування методу найменших квадратів при оцінювані параметрів моделі. Проте ця властивість може виконуватись лише тоді, коли відхилення є помилками вимірювання в спостереженнях.

Якщо відхилення акумулюють загальний вплив неврахованих в моделі факторів, то дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто: , де  лишається невідомим параметром, а S - визначена діагональна матриця. Таке явище називають гетероскедастичністю. При наявності гетероскедастичності оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів будуть незміщеними, обгрунтованими, але не ефективними.

На рис. наведено приклад лінійної регресії - залежності рівня споживання С від рівня доходу І: С = â₀ + â₁ ·І + u - зі зростанням рівня доходу збільшується значення рівня споживання.

На рис. а дисперсія споживання залишається однаковою для різних рівнів доходу, а рис.б ілюструє збільшення дисперсії споживання зі зростанням рівня доходу: люди із великим доходом мають більший простір для його розподілу.

2. Перевірка гетероскедастичності

Для перевірки наявності гетероскедастичності використовуються різні методи.

Параметричний тест Гольдфельда - Квандта застосовується до кожної сукупності спостережень, коли дисперсія відхилень зростає пропорційно до квадрата одного із значень факторів моделі Y = AX + Е, тобто .

Цей тест також складається із 5 кроків:

• Вихідні дані спостережень впорядковуються відповідно до величини елементів фактора X₁, який може викликати зміну дисперсії відхилень.

• Відкинути с спостережень, які містяться в центрі вектора X₁. Якщо n - кількість елементів Х_j , то для визначення с використовують оптимальне співвідношення

• Якщо n – c спостережень утворюють дві сукупності спостережень об'єму n₁ та n₂ , то для кожної з них будують економетрнчну модель на основі методу найменших квадратів (m - кількість факторів моделі).

• Знаходиться сума квадратів відхилень для кожної моделі та .

• Обчислюється критерій , який вразі виконання гіпотези про гетероскедастичність відповідає F – розподілу з ступенями свободи.

• Значення R порівнюється з табличним значенням F статистики за обраного рівня надійності і ступенях свободи k₁ та k ₂: якщо R ≤ F_табл., то гетероскедастичність відсутня.

Y	X
31,70	5,5
33,00	5,6
41,70	5,8
31,80	6
31,90	6
32,70	6
32,10	6,1
32,50	6,1
42,00	6,6
42,10	6,6
41,90	6,7
52,50	7
53,60	7,6
54,60	7,6
55,60	7,6

Приклад. Дослідження на гетероскедастичність

1) Сукупність значень змінної Х₁ упорядковуємо за зростанням:

2) а) Визначаємо значення параметра с зі співвідношення , для n =15, тоді с = 4, отже потрібно відкинути 4 елементи із середини сукупності, але в сукупності залишається 11 елементів, які не діляться на 2 без остачі. Тому потрібно відкинути 4 елементи із середини та один елемент на початку сукупності й дістати дві сукупності: n₁,n₂ = 5.

б) Будуємо економетричну лінійну модель за першою сукупністю: +и

Y	X
31,70	5,50
33,00	5,60
41,70	5,80
31,80	6,00
31,90	6,00

0,154	33,131
10,950	63,332
0,000	4,994
0,000	3,000
0,005	74,823

« Лін.1»:

Маємо таку модель залежності за першою сукупністю: Y=33,131+ 0,154 х₁,

сума квадратів залишків для першої сукупності S₁=74,823.

в) Побудуємо економетричну модель за другою сукупністю

Y	X
41,90	6,70
52,50	7,00
53,60	7,60
54,60	7,60
55,60	7,60

11,458	-32,006
3,687	26,950
0,763	3,128
9,659	3,000
94,531	29,361

« Лін.2»:

Маємо таку економетричну модель для другої сукупності: Y = -32,006 + 11,458 х₁,

сума квадратів залишків для другої сукупності S₂=29,361.

г) Знайдемо значення критерію , R* =29,361/74,823 = 0,392.

Порівнюємо це значення із табличним значенням F-критерію, коли маємо =(15-4-2·2)/2=3,5.

Значення (0,392<3,06), отже у масиві змінної Х₁ гетероскедастичності немає.