3. Дисперсійний і регресійний аналіз моделей

Y			Ŷр	û = y -yp	û 2
∑				0

Дисперсія залишків D_и =

Дисперсія змінної D_у = , = (фіксація F4)

Коефіцієнт детермінації R²=1- =

знаходиться для перевірки якості рівняння регресії і визначає характер лінійного впливу зміни значень факторів моделі на змінну Y , тобто на скільки відсотків рівняння регресії пояснює поведінку залежної змінної Y: R² є (0;1).

Крім того, показник R² може виявитися в ході розрахунків відємним :

• неякісна лінійна модель (звязок в моделі є нелінійним) ;

• коефіцієнт моделі а₀ є дуже і дуже малим;

• малий обсяг статистичних даних.

Коефіцієнт кореляції R =√ R² характеризує тісноту лінійного зв’язку :

чим тіснішим є лінійний звязок між Х і Y, тим ближче R 1,

чим слабшим є лінійний звязок між Х і Y , тим ближче R 0.

Крім того, якщо R>0, то характер зміни Х і Y однаковий ,

якщо R<0, то характер зміни Х і Y протилежний.

Але фактори Х і Y можуть мати часовий тренд, не повязаний із причинно-наслідковою залежністю, наприклад, показник ВВП, рівень доходу і споживання, коли показник R може 1, а лінійний звязок може бути відсутнім.

Коваріаційна матриця Var  = D_и· (Х^т Х)^-1

Стандартні похибки оцінок параметрів моделі дорівнюють квадратному кореню з елементів головної діагоналі коваріаційної матриці S _âі =√|| Var Â||_іі

Інтервальні оцінки для оцінок параметрів моделі зі ймовірністю р = 1- α містять теоретичні параметри модепі a₁ є (â_і - t_{α /2, (n - m-1 )} ·S _âі ; â_і + t_{α /2, (n-m-1 )}·S _âі )

4. Точковий та інтервальльний прогноз

1. Точковий прогноз Х^*_пр = (1, х^*₁, х^*₂ ,..., х^*_n) , Y^*_пр = Х^*_пр· Â.

2. Дисперсія прогнозу D _пр = Х^*_пр · Var  ·( Х^*_пр )^т.

3. Дисперсія інтервального прогнозу D_І = D_и + D _пр , σ_і =√ D_І.

4. Інтервальний прогноз Y^*_пр - t_{α /2, (n - m-1 )} · σ _і < Y^*_пр < Y^*_пр + t_{α /2, (n - m-1 ))} ·σ_і .

5. Перевірка якості та статистичної значущості моделі

1. Статистична значущість коефіцієнтів множинної регресії з т факторами перевіряється на основі t-статистики з (n – m - 1) ступенями свободи, де

n – кількість спостережень, m – кількість факторів моделі, α/2 – поріг значущості моделі :

t _фj = | â₁| / σ_â1

• якщо t _ф > t_{α/2; ( n – m -1 ) ,} знайденого за таблицею розподілу Стьюдента, то маємо статистично значущий коефіцієнт множинної регресії â_j;

• якщо t _ф < t_{α/2; ( n – m -1 )}, то коефіцієнт множинної регресії â₁ є статистично незначущим, а фактор Х_j не має серйозного впливу на Y, лінійно з Y не пов’язаний.

2. Перевірка загальної якості моделі за коефіцієнтом детермінації R² = 1- =

• знаходиться для перевірки якості рівняння регресії і визначає характер лінійного впливу зміни значень факторів моделі на змінну Y , тобто на скільки відсотків рівняння регресії пояснює поведінку залежної змінної Y.

• оцінка статистичної значущості коефіцієнта детермінації R² проводиться за критерієм Фішера ( F –статистика): ,

F _kp = F _{α; m; n -( m+1 ) ,} де n – кількість спостережень,

m – кількість факторів моделі, α – поріг значущості моделі.

Якщо F > F_кр, то коефіцієнт R² є статистично значущим, в протилежному випадку не є статистично значущим.

6. Функція «ЛИНЕЙН» для розрахунку і аналізу багатофакторної лінійної моделі

• для отримання результату спочатку треба виділити масив «5 × (m+1)», де m – кількість факторів моделі,

• знайти: f_х → «Статистические» → «ЛИНЕЙН» і виділити:

- масив Y;

- массив Х;

- константа – «истина» («1»);

- константа – «истина» («1»);

• після введення даних натиснути комбінацію клавіш F2 + Ctrl + Shif t+ Enter одночасно.

		…
		…
R2		#	#	#
F	Df = n – m -1	#	#	#
		#…	#	#

Приклад  2.  Для аналізу залежності ціни автомобілю Y ( $ тис) від його віку (р.) та потужності двигуна (к. с.) з бази даних салону, що займається продажем потриманих автомобілів, були вибрані відомості про 16 машин. Ці відомості наведені в таблиці. Побудувати відповідну лінійну економетричну модель за допомогою:

1. вбудованої статистичної функції MS Excel – «ЛИНЕЙН»;

2. надбудови MS Excel «Пакет анализа».

18,8	3	90
19,2	2	94
16,8	4	100
11,4	6	100
11,4	6	80
14,3	6	120
22,2	2	110
18	4	115
22,5	2	120
24,4	2	130
23,4	3	150
22,5	2	118
23,4	2	115
19,8	2	80
10	6	90
9,6	6	80

1. Для оцінки параметрів та аналізу моделі за допомогою функції «ЛИНЕЙН»:

- Вводимо вихідні дані на лист Excel.

- Виділяємо масив , де m – кількість змінних моделі.

- активуємо «Мастер функций» - категорія «статистические» - функція «ЛИНЕЙН». Діалогове вікно функції матиме вигляд:

Рис.  Діалогове вікно функції «Линейн»

«Известные значения Y» - множина значень Y;

«Известные значения Х» - множина значень незалежних змінних Х;

«Конст» - логічне значення, яке вказує чи потрібно, щоб оцінка параметру (вільний член) дорівнювала нулю;

«Статистика» - логічне значення, яке вказує чи потрібна додаткова статистика по регресії.

- Натискаємо кнопку «ОК», або клавішу «Enter». В лівому верхньому кутку виділеної області з’явиться перший елемент таблиці. Щоб побачити всю таблицю натискаємо клавішу «F₂», а потім – комбінацію клавіш «Сtrl – Shift – Enter».

0,092	-2,315	16,637
0,011	0,121	1,388
0,98	0,779	#Н/Д
323,071	13	#Н/Д
391,664	7,88	#Н/Д

2. Для даної задачі таблиця «ЛИНЕЙН» матиме вигляд:

• Перший рядок результатів розрахунку містить оцінки параметрів моделі:

• Другий рядок містить стандартні похибки оцінок параметрів моделі:

• В третьому рядку таблиці результатів знаходяться два показники – коефіцієнт детермінації і стандартне відхилення залишків моделі:

• Четвертий рядок також містить дві характеристики - критерій Фішера та ступені свободи:

• В п’ятому рядку знаходяться сума квадратів регресії та сума квадратів залишків:

На основі вихідних статистичних даних була побудована економетрична модель залежності ціни автомобілю Y від його віку та потужності двигуна .

• Рівняння моделі має вигляд:

• Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,98, множинний коефіцієнт кореляції – 0,99. Тобто варіація значень ціни автомобілю на 98% визначається варіацією значень його віку та потужності двигуна, між залежною та незалежними змінними існує тісний лінійний зв'язок.

• Фактичне значення критерію Фішера перевищує табличне значення , взяте при ступенях свободи (13; 2)  і рівні значущості 5%, модель достовірна.

• Табличне значення критерію Стьюдента, взяте при ступенях свободи і , становить Оцінки параметрів моделі є статистично значущими, оскільки фактичні значення критерію Стьюдента, для кожної з оцінок, дорівнюють, відповідно, і і є більшими за табличне значення.

• Довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

; і .