2. Гіперболічна модель

Гіперболічна модель в загальному випадку має та­кий вигляд: Y _і = ậ₀ + ậ₁ · + и. (3)

Для всіх значень індексу і = 1,.., n рівняння у векторно - матричній формі набере вигляду

Y = Х + и, де введені такі матриці та вектори

Y = , Х = , А = , и =

Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів ậ₀ , ậ₁ (функції Філліпса, Торнквіста).

3. Показникові моделі

Нехай деяка економічна залежність моделюється формулою Y = АХ ^β, (4)

де А і β - параметри моделі (тобто константи, що підлягають визначенню). Ця функція може характеризувати:

• залежність попиту Y на благо від його ціни X (у цьому випадку (β < 0) або від доходу X (у цьому випадку β > 0; при такій інтерпретації змінних X і Y функція (1) називається функцією Енгеля)

• залежність об'єму випуску Y від використання ресурсу X (виробнича функція), у якій 0< β < 1.

Модель (4) не є лінійною функцією відносно X (похідна залежної змінної Y по X, що вказує на зміну Y щодо зміни X, буде залежати від X: ), тобто не буде константою, що властиве тільки нелінійним моделям. Стандартним і широко використовуваним підходом до аналізу функцій даного роду в економетриці є логарифмування за експонентою е .

Прологарифмувавши обидві частини (1), маємо: 1п Y =1па + β lnX. (5)

Після заміни 1пА = β_о модель (2) прийме вигляд 1п Y = β_о + β₁ lnX. (6)

З метою статистичної оцінки коефіцієнтів додамо в модель випадкову похибку ε й одержимо так звану подвійну логарифмічну модель (і залежна змінна, і пояснююча змінна задані в логарифмічному вигляді): 1п Y = β ₀ + β ln Х + и. (7)

Дане рівняння є лінійним відносно 1пХ і 1п Y, а також щодо параметрів β₀ і β. Вводячи заміни Y* = 1п Y і Х* = 1пХ, (4) можна переписати у вигляді: Y* = β _о + β Х* + и. (8)

Модель (8) є лінійною моделлю. Якщо всі необхідні передумови класичної лінійної регресійної моделі для (5) виконані, то по МНК можна визначити найкращі лінійні незміщені оцінки коефіцієнтів β_о і β. Коефіцієнт β є константою, яка характеризує постійну еластичність. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності.

Дана модель легко узагальнюється на більшу кількість змінних. Наприклад,

1п Y = β₀ + β₁ lnX₁ + β ₂ lnX₂ + и. (9)

Тут коефіцієнти β₁, β₂ є еластичностями змінної Y за змінними X₁ і Х₂ відповідно.

4. Виробнича функція Кобба – Дугласа

Ряд економічних показників моделюється за допомогою функції, що є композицією перерахованих функцій, що дозволяє також звести їх до лінійних. Найчастіше дана модель використовується при аналізі виробничих функцій.

Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію Y = ậ₀ F ^ậ1 L ^ậ2, 0 < ậ₁ <1, 0 < ậ₂ <1 (10) називають виробничою функцією Кобба - Дугласа. У загальному вигляді права частина рівності може містити більшу кількість факторів.

Дана функція шляхом логарифмування (ln е^аt = аt) зводиться до лог-лінійної моделі. Значення статистичних оцінок параметрів ậ₀, ậ_1, ậ₂ функції одержимо шляхом логарифмування

ln Y = ln ậ₀ + ậ₁ lnF + ậ₂ lnL + и (11)

Тут ậ_1, ậ₂ - еластичності випуску за витратами капіталу й праці відповідно. Сума цих коефіцієнтів є таким важливим економічним показником, як віддача від масштабу:

• при ậ_{1 +} ậ₂ = 1 говорять про постійну віддачу від масштабу (у скільки разів збільшуються витрати ресурсів, у стільки ж раз збільшується випуск);

• при ậ₁ + ậ₂ < 1 має місце спадна віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску менше збільшення витрат ресурсів);

• при ậ_{1 +} ậ₂ > 1 — зростаюча віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску більше збільшення витрат ресурсів).