2.2. Моделі ancova за наявності у якісних змінних більш двох альтернатив

Нехай розглядається модель із двома пояснюючими змінними, одна з яких є кількісною, а інша - якісною. Причому якісна змінна має три альтернативи. Наприклад, видатки на утримання дитини можуть бути пов'язані із доходами домогосподарств і віком дитини: дошкільний, молодший шкільний і старший шкільний. Тому що якісна змінна пов'язується із трьома альтернативами, то за загальним правилом моделювання необхідно використовувати дві фіктивні змінні. Таким чином, модель може бути представлена у вигляді: Y = β_о + β₁X + γ₁ D₁ + γ₂ D₂ + и, (6)

де Y - видатки, X - доходи домогосподарств.

0, якщо дитина - дошкільник,

D₁ = 1, якщо у протилежному випадку.

0, якщо дошкільник або молодший школяр,

D₂ = 1, у протилежному випадку.

Утворяться наступні залежності:

• Середній видаток на дошкільника: M( Y| D₁ = 0, D₂ = 0) = β_о+ β₁X . (7)

• Середній видаток на молодшого школяра: M ( Y | D_l = 1, D₂ = 0) = (β_о + γ₁) + β₁ Х (8)

• Середній видаток на старшого школяра: M( Y | D₁ = 1, D₂ = 1) = (β_о + γ₁ + γ₂ ) + β₁ Х . (9)

Тут γ₁, γ₂ - диференціальні вільні члени. Базовим значенням якісної змінної є значення «дошкільник».

Після обчислення коефіцієнтів рівнянь регресії (7) - (9) визначається статистична значущість коефіцієнтів γ₁, γ₂ на основі звичайної t-статистики. Якщо коефіцієнти γ₁, γ₂ виявляються статистично незначущими, то можна зробити висновок, що вік дитини не робить істотного впливу на видатки із його втримування.

Приклад 1. Людина, яка працює на кількох роботах, відома як заробітчанин. Шіско і Росткер зацікавилися факторами, які визначають зарплати заробітчан. Базу­ючись на виборці щодо 318 заробітчан, вони отримали таку регресію:

+ 2.26 x₁+ 90.06 D₁ + 75.51 D₂ + 47.33 D₃ + 113.64 D₄ (*)

Т: (0.94) (24.47) (21.60) (23.42) (27.62) ;

R² = 0.34 df =311,

де w_m — зарплата заробітчанина (центів на годину);

w₀ — початкова зарплата (центів на годину);

x₁ — вік людини.

D_l (раса) = 0, якщо білий, = 1, якщо не білий;

D₂ (місто) = 0, якщо не міський, = 1, якщо міський;

D₄ (область) = 0, якщо не західний район, = 1, якщо західний район;

D₃ (освіта) = 0, якщо без освіти, = 1 має освіту;

У моделі є дві кількісні пояснюючі змінні, w₀ та х₁, а також чотири якісні змінні. Коефіцієнти всіх цих змінних статистично значущі із рівнем похибки 5%. Цікаво, що всі якісні змінні суттєво впливають на зарплату заробітчан. Наприклад, за інших рівних умов рівень погодинної оплати праці на 47% вищий у осіб із освітою, ніж у тих, хто не має освіти.

З регресії (*) можна виділити декілька індивідуальних регресій, наприклад, такі:

• середня зарплата білих, неміських, не із західних регіонів заро­бітчан, які не мають вищої освіти (коли всі фіктивні змінні дорівнюють нулю): w_m = 37.07 + 0.403 w₀ + 2.26 x₁;

• середня зарплата чорношкірого, міського, з західного регіону заробітчани­на з вищою освітою (коли всі фіктивні змінні дорівнюють одиниці): w_m = 183.49 + 0.403 w₀ + 2.26 x₁.