22. Главные направления и главные кривизны. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера для вычисления нормальной кривизны поверхности в данном направлении через главные кривизны

Выясним, как нормальная кривизна регулярной поверхности в некоторой ее фиксированной точке меняется с изменением направления на касательной плоскости в этой точке.

Представим нормальную кривизну поверхности таким образом

k_n()=II/I=II/ds²=L(du/ds)²+2M(du/ds)(dv/ds)+N(dv/ds)².

Регулярную параметризованную поверхность в окрестности данной ее точки можно рассматривать как график функции двух переменных z=z(x, y). Или, что все равно, как параметризованную поверхность, когда роль параметров u, v выполняют декартовы координаты x, y: x=x, y=y, z=z(x, y). Не умаляя общности, начало координат возьмем в данной точке поверхности, плоскость x, y будем считать совпадающей с касательной плоскостью в данной точке поверхности, так что рассматриваемое направление на касательной плоскости в данной точке поверхности лежит в этой плоскости x, y, образуя? угол  с осью x. Тогда имеем

(0du/ds=dx/ds=cos, dv/ds=dy/ds=sin (для прямоугольных координат?), (0)(3.8( 3 .8)

и мы получаем для нормальной кривизны

(0k_n()=Lcos²+2Mcossin+Nsin². (0)(3.9( 3 .9)

Изменение направления в одной и той же точке в касательной плоскости x, y, будет определяться значениями этого угла  при неизменном значении коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы в данной точке при фиксированных координатных линиях, определяемых выбранной параметризацией поверхности. При этом нормальная кривизна поверхности в направлении, определяемом углом , будет меняться в зависимости от этого угла, экстремальное значение которого определиться из условия k_n()=0 [?], которое является собственным значением для матрицы? квадратичной формы [¹⁰, с. 88], [¹¹, с. 214, 232]

−Lsin2+2Mcos2+Nsin2=0; tg2=2M/(N−L);

Отсюда имеем [¹², с. 196], [? с. ?]

₁=(1/2)arctg[2M/(N−L)], ₂=(1/2)arctg[2M/(N−L)]+/2.

Таким образом, нормальная кривизна поверхности, равная кривизне нормального сечения, на полном круге достигает два экстремума при двух взаимно ортогональных направлениях.

Это видно также из выражения (0): функция k_n() является непрерывной при всех  и в силу периодичности тригонометрических функций в выражении нормальной кривизны k_n(0)=k_n(2). Тогда в соответствии с теоремой Лагранжа о среднем и ее следствием – теоремой Ролля, эта функция на промежутке [0; 2] имеет не менее одного максимума и (или) не менее одного минимума. Что также доказывает существование экстремальных (главных) кривизн и соответствующих главных направлений.

Далее, в данной точке поверхности в касательной плоскости будем откладывать от этой точки отрезок _n=1/|k_n|^1/2, равный корню квадратному из радиуса нормальной кривизны в соответствующем направлении. Геометрическое место концов этих отрезков называется индикатрисой Дюпена. Получим ее уравнение в аффинной системе координат с базисом r_u, r_v и началом в данной точке.

Обозначим радиус-вектор точек индикатрисы через , тогда в базисе r_u, r_v будем иметь

=(x, y)=(xr_u+yr_v).

С другой стороны имеем

=(|k_n|)^−1/2(dr/ds)=(|k_n|)^−1/2[r_uu¢(s)+r_vv¢(s)]=[r_uu¢(s)+r_vv¢(s)].

Сравнивая, получим с учетом (0)

(0x=(|k_n|)^−1/2u¢(s)=(|k_n|)^−1/2cos, y=(|k_n|)^−1/2v¢(s)=(|k_n|)^−1/2sin. (0)(3.10( 3 .10)

Отсюда u¢(s)=|k_n|^1/2x, v¢(s)=|k_n|^1/2y.

Подставим это в выражение для нормальной кривизны

k_n=(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/(ds)²=Lu²+2Muv+Nv².

Получим

k_n=(Lx²+2Mxy+Ny²)|k_n|; или

(0|Lx²+2Mxy+Ny²|=1. (0)(3.11)( 3 .11)

То же самое дает подстановка в (0) следующих выражений из (0)

(0cos=x|k_n|^1/2, sin=y|k_n|^1/2 . (0)(3.12)( 3 .12)

Таким образом, индикатриса Дюпена в некоторой фиксированной точке поверхности есть центральная кривая второго порядка, определяемая уравнением (0).

В системе координат (, ) с нормированным базисом (₁, ₂)=(r_u/|r_u|, r_v/|r_v|)=(r_u/ , r_v/ ), когда =x|r_u|=x , =y|r_v|=y , уравнение (0) примет вид

(0|(L/E)²+2(M/ )+(N/G)²|=1. (0)(3.13( 3 .13)

Индикатриса (0) имеет и другое наглядное геометрическое представление: она подобна сечению поверхности плоскостью, параллельной касательной плоскости поверхности в данной ее точке и отстоящей от нее на малом расстоянии z, когда поверхность рассматривается в малой окрестности этой точки как график функции двух переменных, малые значения которой откладываются вдоль нормали поверхности в данной ее точке, принимаемой за начало координат [¹³, с. 199], [Шикин, ПознякError: Reference source not found¹⁴], [ФаварError: Reference source not found¹⁵, с. 318–319]. Найдем уравнение этого сечения.

x=x(u,v)=u, y=y(u,v)=v, z=z(u,v)=z(x,y);

x₀=y₀=0, z₀=z(x₀,y₀)=z(0,0)=0;

x_u=x_x=1, y_u=y_x=0, z_u(0,0)=z_x(0,0)=0,

x_v=x_y=0, y_v=y_y=1, z_v(0,0)=z_y(0,0)=0,

z_uu=z_xx, z_uv=z_xy, z_vv=z_yy.

С учетом этих соотношений для коэффициентов квадратичных форм из (0), (0) и (0), (0) будем иметь

(0L=(r_uun)=−(r_un_u), M=(r_uvn)=−(r_un_v)=−(r_vn_u), N=(r_vvn)=−(r_vn_v). (0)(3.14( 3 .14)

E=1+z_x², G=1+z_y², F=z_xz_y, D₁=|r_ur_v|²=EG−F ²=1+z_x²+z_y²;

L=(r_uur_ur_v)/D₁^1/2=z_xx/D₁^1/2, M=(r_uvr_ur_v)/D₁^1/2=z_xy/D₁^1/2 , N=(r_vvr_ur_v)/D₁^1/2=z_yy/D₁^1/2.

z(x+x, y+y)=z(x, y)+z_xx+z_yy+(1/2)(z_xxx²+2z_xyxy+z_yyy²)+o(x²,y²).

z=z(x+x,y+y)−z(x, y)=

=z(x, y)=(1/2)(z_xxx²+2z_xyxy+z_yyy²)+o(x²,y²). (x=x−x₀=x, y=y−y₀=y).

Отсюда с точностью до малых второго порядка получим уравнение линии уровня – сечения поверхности как графика функции двух переменных плоскостью, параллельной касательной плоскости и отстоящей от последней на расстоянии h=2z

Lx²+2Mxy+Ny²=2z.

Индикатриса Дюпена получается из этой кривой второго порядка, если все радиус-векторы точек последней уменьшить в h раз. Ясно, что это не повлияет на характерные особенности формы, которые, собственно, и важны для локального исследования вида поверхности (в малой окрестности некоторой ее точки).

По-видимому, индикатрису Дюпена можно считать эволютой огибающей нормальных сечений? Эволютой какой кривой являются конические сечения?