8. Приложение 1 Примеры лиейчатых поверхностей Пример 1. Поверхность бинормалей (факультатив)

Дана неплоская кривая (Г₀). Возьмем на ней произволь­ную точку М₀ и обозначим радиус-вектор этой точки через r = r(v), где v—дуга кривой. Далее, отложим на бинормали к (Г₀) в точке М₀ отрезок М₀М = и. Тогда радиус-вектор точки М можно будет выразить так:

R = r+ub.

Это уравнение и определяет искомую поверхность, обра­зованную бинормалями кривой (Г₀), при условии, что и и v суть независимые переменные.

Сначала вычислим гауссовы коэффициенты? вводя обозначения

r₁ = b; R₂ = t—un:

Е= R₁²=l; F= R₁R₂=еt+uее'=cos=0; G = R₂² = 1+u²²; H² =1+u² ².

Далее:

ds² = du² + (1 + u² ²)dv². (*)

Чтобы определить стрикционную линию и параметр распределения, найдем сначала , а, b. Из (*) видим, что

b=0, a²=², =/2.

Следовательно, данная кривая (Г₀) является стрикционной линией поверхности. Что же касается параметра распреде­ления, то его легко вычислить по формуле (13)=t[ее']/a². Именно, подставляя в (13) нее значения а²=е'², b=tе', , получим:

=1/.

Пример 2. Поверхность главных нормалей (факультатив)

Пусть дана неплоская кривая (Г₀). Составим уравнение линейчатой поверхности, образованной ее главными нормалями.

Для этого возьмем произвольную точку M₀(r) на (Г₀) и отложим на соответствующей главной нормали отрезок M₀М=и.

Тогда радиус-вектор точки М будет:

R=r + un.

Очевидно это и будет уравнением поверхности главных нормалей, при условии, что и и v (v — дуга кривой) суть независимые параметры.

Определяем гауссовы коэффициенты:

r₁ = n; R₂ = t + и (b − kt);

E = R₁² =1; F=R₁R₂=0; G = R₂² = (1− uk)² + u²².

Далее имеем:

H²=(1 − uk)² + u²²;

ds² = du² + {(1− uk)² + u²²}dv². (**)

Из (**) видим, что:

 =/2; а² = k² + ²; b = − k.

Следовательно, уравнение стрикционной линии в криволинейных координатах будет иметь вид:

(k² + ²)u −k = 0.

С учетом найденных значений a, b,, найдем для параметра распределения будем иметь

=/(k²+²)^1/2.

Роль замечательных линий на поверхности в биологии (факультатив)

В излагаемой ниже модели активно используются следующие известные положения. Основная роль в морфогенетических процессах принадлежит движениям органических пластов (это положение подчеркивается во многих биологических публикациях). Надмолекулярные органические тела отличаются от кристаллов дополнительно тем, что имеют криволинейные поверхности, и их взаимосопряжение в упорядоченные ансамбли происходит в общем случае не по кристаллографическому правилу плотнейшей упаковки. В биологической самосборке отдельных биотел существенную роль играют различные реакционноспособные химические группировки, неоднородным образом распределенные по поверхности этих тел и обусловливающие наличие поверхностной энергии. Биологическая самосборка не противоречит известному принципу об устойчивости системы в состоянии с минимальной энергией: в ходе самосборки соответствующие химические группировки на сопряженных поверхностях реагируют с выделением энергии, и общая поверхностная энергия системы становится меньше суммы поверхностных энергий отдельных органических поверхностей.

Важно также то, что, судя по всему, особую роль во взаимосопряжении криволинейных органических поверхностей при самосборке играют поверхностные линии с экстремальными геометрическими и морфогенетическими свойствами; вдоль этих линий размещены биохимические группировки, обеспечивающие стыковку смежных поверхностей. Другими словами, в биоморфологии в отличие от классической кристаллографии речь может и должна идти об укладках по принципам сопряжения смежных криволинейных поверхностей по специальным линиям и зонам, отражающим, например, свойства кривизны поверхности.

Как отмечается в [³⁶], [³⁷] и других источниках, свойства кривизны поверхности особо важны в морфогенетическом отношении. Но с этими свойствами непосредственно связаны линии кривизны, изогонали к ним и асимптотические линии на этой поверхности. Линии кривизны поверхности (они по определению в каждой точке поверхности имеют направления, в которых нормальная кривизна поверхности в данной точке достигает экстремального значения)

Изогонали к линиям кривизны, т. е. траектории, пересекающие их под постоянным углом , имеют в координатах линий кривизны следующий вид:

Линии кривизны образуют на поверхности сеть ортогональных и сопряженных линий.

Подчеркнем, что (это известный факт дифференциальной геометрии) группой автоморфизмов линий кривизны поверхностей (и изогоналей к ним) является группа мебиусовых преобразований, а группой автоморфизмов асимптотических линий – группа проективных преобразований. Для множества, составленного из асимптотических линий и линий кривизны поверхности, группой автоморфизмов служит группа преобразований подобия, находящаяся на пересечении мебиусовой и проективной групп.

После этих предварительных данных можно рассматривать непосредственно модель «криволинейных сандвичей», объясняющую возникновение евклидовых и неевклидовых цикломерий за счет сопряжения органических пластов по группо-инвариантным линиям поверхностей.

Обратимся к примерам формирования рогов (или раковин). Пусть имеются модельные аналоги зоны ороговения и ростовой зоны, характеризуемые тем, что в первой содержатся отвер­девающие и отвердевшие криволинейные органические пласты, а во второй формируются и растут новые органические пласты. Для простоты будем считать, что эти пласты имеют нулевую толщину, хотя можно обойтись и без этого упрощения. Рассмотрим сначала только случай формирования мебиусовой цикломерий.

Пусть на первом этапе [t₀, t₁] процесса формирования модельного «рога» в зоне ороговения уже имеется один криволинейный пласт в виде затравки. С этого пласта, как с матрицы, в ростовой зоне реплицируется (дублируется) его евклидова копия – второй криволинейный пласт, причем на обоих пластах химические группировки, обеспечивающие их сопряжение, расположены вдоль линий кривизны или изогоналей к этим линиям. В данном «сандвиче» из двух неравномочных соседних пластов и сшивок между ними верхний пласт, расположенный в зоне ороговения, утрачивает способность ростового изменения, тогда как второй пласт, находящийся в ростовой зоне, после своего возникновения продолжает расти.

При этом он сохраняет изначальное расположение химических группировок сопряжения именно вдоль названных мебиусово-инвариантных линий своей поверхности (в общем случае изменяющейся по форме в ходе роста, поскольку в разных участках ростовой зоны рост частей пласта происходит с разной скоростью). В ходе такого преимущественного и неоднородного по площади роста второго пласта евклидова эквивалентность формы пластов в общем случае утрачивается и переходит в мебиусову эквивалентность, поскольку ли­ниям кривизны одного пласта соответствуют линии кривизны второго, что является условием мебиусовой трансформации поверхностей. В результате в конце первого этапа рассматриваемого процесса мы имеем «мебиусов сандвич».

Разное

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 296 с. (ВГУ 51 П308. Стр. 68.

Теорема о неявной функции см. Петровский И.Г. [³⁸] файл d:\awk\nd5\bblgr\bblgr1\ bg-m-r.doc. Стр. 68: Теорема о неявной функции: Пусть функция f(x,y) определена при axb и любых действительных значениях y, непрерывна по x и всюду имеет непрерывную производную по y, которая ограничена и всегда превосходит некоторое постоянное m>0. Тогда уравнение f(x,y)=0 имеет на замкнутом интервале axb одно и только одно непрерывное решение y(x). Доказательство с помощью принципа сжатых отображений.¶ Непродолжаемые решения – стр. 46. Кривые и поверхности как интегральные – 263. Задачи 53, 56, 64. ¶Петровский И.Г. – Стр. 124. Задача 1. Составить систему двух дифференциальных уравнений 1-го порядка с искомыми функциями y и z вида (4.4), интегральными кривыми которой являются винтовые линии с правой нарезкой, данным шагом h и осью Ox. Как можно обобщить эту задачу на случай большего числа измерений? (4.4): f_i(x, y₁,…, y_n, y₁,…, y_n)=0.¶ «Странные» аттракторы системы Лоренца – 221. ¶ ссылка на Красносельского и Крейна М.Г. – 206.

Использовать нетрадиционные определения конических сечений (в частности, мое и Четверухина) и мое свойство асимптот для выявления новых свойств индикатрисы Дюпена и асимптотических линий.

качение эллипса по кривой, по прямой, связь с поверхностями вращения постоянной средней кривизны и поверхностями постоянной гауссовой кривизны. Прибор Ейтса (Yates R.C. The Description of a surface of constant curvature. – Amer. Monthly. 1931) . – Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 344 с. стр.283-285. 229 свойство поверхностей с постоянной средней и постоянной положительной гауссовой кривизной.

квадрики, кубики, квартики. преобразование к стандартному виду квадратичных форм (квадрик), кубик и квартик см. Малинецкий,133–143.

Диф. ур. координатных линий dudv=0 (Милинский 257).

*Дифференциальные параметры Бельтрами (Стройк, (Геронимус. корифеев…, 89-95, оригинал Сомов О.И. Прямой способ для выражения дифференциальных параметров первого и второго порядка и кривизны поверхности в каких-либо координатах ортогональных или косоугольных. Приложения к запискам Императорской академии наук. т. VIII, № 24, 1865). (Формула Жуковского Н.Е., корифеев,216 )). Об ускорениях различных порядков, т. V, № 5, 1864. (корифеев…,506). Об ускорениях различных порядков в относительном движении, т. IX, № 5, 1866. (корифеев…,506).