Кривые на поверхности. Регулярность образа и прообраза
Пусть имеется поверхность, заданная в области D как отображение точек области D в точки на этой поверхности, осуществляемой вектор-функцией r=r(u, v). Рассмотрим также в области D на плоскости (u, v) кривую, заданную параметрическими уравнениями
u=u(p), v=v(p).
Отображение точек этой кривой в точки поверхности с помощью вектор-функции даст на этой поверхности некоторую кривую в соответствии с уравнением
r=r(u(p), v(p))=r(p).
Таким образом, задавая кривую в области D на плоскости (u, v), мы определяем кривую на поверхности.
Теорема. (О регулярности образа и прообраза). Если кривая-прообраз u=u(p), v=v(p) регулярная, то кривая-образ на регулярной поверхности тоже регулярная. Для доказательства продифференцируем радиус-вектор точек кривой на поверхности как сложную функцию. Получим
r(p)=ruu(p)+rvv(p).
Регулярность кривой-образа означает отличие от нуль-вектора производной r(p). Предположим противное, т.е. что r(p)=ruu(p)+rvv(p)=0. Так как в силу регулярности прообраза u(p), v(p) одновременно в ноль не обращаются, то это будет означать, что векторы ru и rv коллинеарны и, следовательно, их векторное произведение равно нулю, что противоречит одному из условий регулярности поверхности.
Координатные линии. Сеть на поверхности. Внутренние или криволинейные координаты
Пусть имеется РПП r=r(u, v). Зафиксируем один из параметров. Тогда из двухпараметрического уравнения поверхности будем иметь однопараметрическое уравнение кривой на этой поверхности.
u=const: r=r(v),
v=const: r=r(u).
Такие кривые называются координатными линиями, которые в общем случае не являются прямыми. Фиксируя различные значения параметров, получим два семейства координатных линий: u=const и v=const .
Они образуют на поверхности так называемую сеть. Сеть называется правильной, если каждая линия одного семейства пересекает каждую линию другого семейства только один раз и не пересекает линии своего семейства. Построение сети координатных линий является важным во многих отношениях, так как от этого зависит математическая сложность решаемых задач.
Сеть Чебышева. (См. Шикин,324,330 ссылка [3].)
Мы видели, что, кривая в области D на плоскости (u, v) определяет кривую и на поверхности. Кривая на плоскости u, v задается соотношением между числами u, v и это соотношение, таким образом, определяет кривую и на поверхности, поэтому эти числа называются внутренними или криволинейными координатами на поверхности.
Примером криволинейных координат являются полярные координаты (плоские и пространственные или цилиндрические), сферические, географические и др.
Декартовы координаты являются прямолинейными координатами. Координатными линиями являются параллельные прямые.
Касательная плоскость и нормаль поверхности
Касательной плоскостью регулярной поверхности в некоторой ее точке называется плоскость, содержащая касательную любой кривой на поверхности, проходящей через эту точку. Множество таких касательных лежит, очевидно, в плоскости двух касательных к координатным линиям в данной точке поверхности. Направление любой из этих касательных определяется вектором dr=rudu+rvdv или вектором производной в результате дифференцирования сложной функции r=r(u(p), v(p))=r(p)
r(p)=dr/dp=ruu(p)+rvv(p).
Очевидно, что векторы ru, rv направлены вдоль касательных к координатным линиям в данной фиксированной точке поверхности. В силу данного векторного равенства, выражающего линейную зависимость векторов, касательные всех других кривых в этой точке будут лежать в плоскости, образованной этими векторами. Следовательно эта плоскость будет являться касательной плоскостью поверхности в данной ее точке.
Нормалью поверхности в данной ее точке называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости. Очевидно, направляющим вектором нормали и касательной плоскости можно взять вектор N=rurv.
Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид
(R−r)N=0; ((R−r)rurv)=0
или по определяющему свойству смешанного произведения
=0.
Раскрывая определитель, получим общее не параметризованное уравнение плоскости-носителя в виде Ax+By+Cz+D=0. Проделать это самостоятельно и получить выражения для коэффициентов A, B, C, В в явном виде.
Уравнение нормали поверхности, как прямой, проходящей через точку r в направлении N будет иметь вид
R=r+N; R=r+(rurv).
В качестве упражнения запишите это уравнение, как уравнение прямой в канонической форме.