Нормальная и геодезическая кривизна поверхности в данном направлении

Из выражения ( 2 .6) для k_n видно, что нормальная кривизна некоторой кривой на поверхности в фиксированной точке поверхности зависит лишь от направления du:dv на касательной плоскости этой поверхности и не зависит от формы этой кривой, следовательно, она равна нормальной кривизне любой другой кривой на поверхности, проходящей через данную точку в данном направлении. В самом деле, разделим правую часть ( 2 .6) на dv². тогда нормальная кривизна k_n будет функцией только отношения (du:dv), т.к. коэффициенты квадратичных форм фиксированы для данной точки поверхности, а отношение (du:dv) задаёт на поверхности определённое направление.

Т.о. эта величина является характеристикой поверхности в данной ее точке в данном направлении и называется поэтому также нормальной кривизной поверхности в данном направлении.

В дальнейшем будем говорить о нормальной кривизне поверхности в данном направлении, в данной точке.

?Другое, аналитическое обоснование равенства нормальных кривизн всех кривых данного направления см. в моих рукописных конспектах лекций. См. также Милинский,193.?

Верно ли это и для геодезических кривизн? Геодезическая кривизна является кривизной кривой-проекции данной кривой на касательную плоскость? Вообще, кривизна проекции равна проекции вектора кривизны. Доказательство см. [⁸, с. 80-81].

Ясно, что абсолютные величины нормальной и геодезической кривизн поверхности зависят лишь от выбранной точки поверхности и направления на ее касательной плоскости в этой точке и не зависят от параметризации поверхности.

Нормальное и наклонное сечения поверхности. Теорема Менье

Нормальным сечением поверхности в данной ее точке в данном направлении называется плоская кривая – линия пересечения поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в этой точке и прямую данного направления.

Наклонным сечением называется плоская кривая - линия пересечения поверхности плоскостью, содержащей прямую данного направления.

Покажем, что орт  главной нормали нормального сечения коллинеарен орту n нормали поверхности. Действительно, так как нормальное сечение есть плоская кривая, лежащая в плоскости (, n), то ее главная нормаль с ортом  также лежит в этой плоскости. Таким образом, векторы  и n лежат в одной плоскости с  и оба ортогональны , следовательно, они коллинеарны друг другу. Так что, главная нормаль нормального сечения поверхности совпадает с нормалью этой поверхности.

Тогда ясно, что плоскость наклонного сечения получается поворотом на угол  плоскости нормального сечения около прямой, имеющей направление du:dv.

По определению для нормальной кривизны k_n и для кривизны k_ некоторого наклонного сечения имеем k_n=k_cos.

Для нормальной кривизны поверхности в том же направлении, что и направление наклонного, можно записать, полагая в частности наклонное сечение совпадающим с нормальным ( равен 0 или , cos=1, k_(0)=k₀),

k_n=k₀=sign(cos)k₀ (угол  равен 0 или ).

Таким образом нормальная кривизна поверхности в данном направлении по модулю равна кривизне нормального сечения поверхности в этом направлении.

Т огда сравнение дает

k_cos=sign(cos)∙k₀, k_|cos|=k₀.

О тсюда получим

R₀|cos|=R_.

Эта формула выражает нижеследующую теорему Менье.

Проекция центра кривизны нормального сечения поверхности на плоскость наклонного совпадает с центром кривизны последнего.

Пример. В качестве примера рассмотрим на сфере экваториальное нормальное сечение – окружность, радиуса R₀ и наклонное сечение – окружность, радиуса R_.

Можно показать, что нормальная кривизна кроме того, что она есть кривизна нормального сечения, есть также кривизна проекции наклонного сечения поверхности на нормальную секущую плоскость. (Кривизна проекции равна проекции вектора кривизны. Доказательство см. [Error: Reference source not found, сноска на с. 80-81]).

Геодезическая кривизна равна кривизне проекции кривой на касательную плоскость. (Норден, 208; Рашевский – 367, Мак-Коннел)?. (Кривизна проекции равна проекции вектора кривизны [Error: Reference source not found, с. 80-81]).

Геодезическая кривизна и геодезическое кручение асимптотической равны обычным ее кривизне и кручению.

При этом проекции кривых, в частности, наклонных сечений, на плоскость нормального сечения в общем случае, разумеется, не совпадают с нормальным сечением поверхности.

Отметим, что в соответствии с теоремой Менье кривизна нормального сечения больше, чем кривизна всякого наклонного сечения того же направления, что и нормальное.