23. Дифференциальные уравнения главных направлений и главных кривизн. Характеристическое уравнение поверхности

В предыдущем пункте геометрически, с помощью индикатрисы Дюпена было показано, что такие кривизны и направления существуют и их не менее двух. Покажем это еще аналитически.

В выражении для нормальной кривизны введем замену переменных

du=cos, dv=sin,

получим

k_n()=II/I=(Ldu²+2Mdudv+Ndv²)/(Edu²+2Fdudv+Gdv²)=

= .

Из этого выражения видно, что функция k_n() в силу положительной определенности первой квадратичной формы регулярной поверхности является непрерывной и k_n(0)=k_n(2). Тогда в соответствии с теоремой Лагранжа о среднем и ее следствием – теоремой Ролля, эта функция на промежутке [0; 2] имеет не менее одного максимума и (или?) не менее одного минимума (ссылка? [?]). Что и доказывает существование экстремальных (главных) кривизн и соответствующих главных направлений.

Теорема Лагранжа о среднем: f ¢(x₀)=[f(b)−f(a)]/(b−a). Ее следствие – теорема Ролля: f ¢(x₀)=0, f(b)=f(a). – Если f(b)=f(a), то существует точка x₀ такая, что f ¢(x₀)=0.

Характеристическое уравнение поверхности – уравнение для главных кривизн

Для нормальной кривизны k_n=k(du,dv) имеем k=II/I, II−kI=0. Или в развернутом виде

Ldu²+2Mdudv+Ndv²−k(Edu²+2Fdudv+Gdv²)=0;

(0(L−kE)du²+2(M−kF)dudv+(N−kG)dv²=0. (0)(4.18( 4 .18)

Так как существование экстремума уже было показано, то должны выполняться необходимые условия его существования в виде равенства нулю частных производных: k/(du), k/(dv)=0. С учетом этого, дифференцируя данные выражения частным образом по du, затем по dv, получим

(L−kE)du+(M−kF)dv=0;

(0(0)4.19( 4 .19)

(M−kF)du+(N−kG)dv=0.

Эта однородная система уравнений относительно du, dv. Она имеет нетривиальное решение для регулярной поверхности, т.к. для нее существуют экстремальные значения k_n. Следовательно, ее определитель равен нулю, что дает уравнение для определения главных кривизн

=0.

Или в развернутой форме

(0(EG−F ²)k²−(EN−2FM+GL)k+LN−M ²=0. (0)(4.20( 4 .20)

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением поверхности. Оно имеет действительные корни, они либо различны, либо совпадают. Рассмотрим эти два случая.

1. Пусть k₁k₂. Тогда два главных направления определятся из двух систем уравнений, определяемых уравнениями (0)

(L−k_iE)(du)_i+(M−k_iF)(dv)_i=0;

(M−k_iF)(du)_i+(N−k_iG)(dv)_i=0. (i=1,2).

Пусть главными направлениями в каждой точке поверхности являются направления координатных линий в этой точке. Например, первым главным направлением является направление (du)₁:0, (v=const), а вторым – 0:(dv)₂, (u=const). Тогда

(L−k₁E)(du)₁=0; (M−k₂F)(dv)₂=0;

(M−k₁F)(du)₁=0; (N−k₂G)(dv)₂=0,

L−k₁E=0; (1) M−k₂F=0, (3)

M−k₁F=0; (2) N−k₂G=0. (4)

Так как k₁k₂, то из (1), (4) получаем F=M=0. Отсюда снова получаем подтверждение того, что главные направления ортогональны, если различны: F=(r_ur_v)=0 => r_ur_v. Главные кривизны определяются при этом следующими формулами

k₁=L/E, k₂=N/G.

2. Пусть теперь k₁=k₂=k. В этом случае каждое направление является главным, причем, если k=0 – точка уплощения, k>0 – точка округления или омбилическая)?.

Используя найденные главные кривизны, из (0) будем иметь дифференциальные уравнения для главных направлений

(L−k_iE)du²+2(M−k_iF)dudv+(N−k_iG)dv²=0. (i=1,2).

24. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Свойства средней кривизны (?см. также E:\awk\nd3\dglkzprg\dg-lkz\tp2-1pr1.doc?)

Характеристическое уравнение (0) можно записать также через так называемую среднюю кривизну H=(k₁+k₂)/2 и полную или гауссову кривизну K=k₁k₂

k²–2Hk+K=0,

2H=(EN–2FM+GL)/(EG–F ²)=k₁+k₂,

K=(LN–M ²)/(EG–F ²)=D₂/D₁=k₁k₂ – инвариант матрицы? второй квадратичной формы.

Для дискриминанта характеристического уравнения (0) как квадратного имеем

D/4=H²−K=(k₁+k₂)²/4–k₁k₂=(k₁–k₂)²/40.

Отсюда также следует, что всегда существуют вещественные корни характеристического уравнения поверхности.

Из формулы Эйлера k_n=k₁cos²+k₂sin² легко получить свойства средней кривизны. Средняя кривизна есть среднеарифметическое любых двух нормальных кривизн во взаимноортогональных направлениях. Она является также средним значением нормальной кривизны по всем направлениям полного круга. (Проверьте самостоятельно в качестве упражнения).

H=(1/2)[k_n()+k_n(+/2)], H=(1/2) .

Полная (гауссова) кривизна играет важную роль в изучении поверхностей. Примером поверхности постоянной положительной кривизны является обычная сфера (K=1/R).

Важный класс составляют поверхности отрицательной кривизны. Замечательным примером такой поверхности является псевдосфера Бертрана (K=−1/a) как поверхность, образованная вращением трактрисы² около ее базы (асимптоты). На псевдосфере реализуется неевклидова геометрия Лобачевского (рис. ?).

Непосредственная проверка по формуле Эйлера показывает, что средняя кривизна поверхности в некоторой точке равна нормальной кривизне поверхности в направлении биссектрисы угла между главными направлениями. Это дает возможность наглядно представить среднюю кривизну поверхности через кривизну кривой – нормального сечения поверхности в этом биссектрисном направлении (КАВ?).

Полная кривизна может быть равна нормальной кривизне лишь в главном направлении в случае нулевого ее значения, которое имеет место, в частности, для линейчатых поверхностей. (В случае линейчатой поверхности нулевая нормальная кривизна в направлении прямолинейной образующей является одной из главных, как и это направление. Объясните, почему. Примером полной нулевой кривизны может служить любая линейчатая поверхность). Действительно, полагая квадрат нормальной кривизны равным полной кривизне, по формуле Эйлера будем иметь

k₁k₂=( cos)²+( sin)².

Отсюда получим однородную систему алгебраических уравнений относительно cos, sin, которая может иметь ненулевое решение лишь в случае равенства нулю ее определителя. На этом основании делаем вывод, что k₁k₂ должно равняться нулю.

Полную ненулевую положительную кривизну наглядно можно представить полной кривизной соприкасающейся сферы поверхности, а отрицательную – полной кривизной соприкасающейся псевдосферы.