Дифференциал и дифференцируемость

Вектор-функция r(u,v) называется дифференцируемой в точке (u₀,v₀), если ее приращение в этой точке можно представить с точностью до бесконечно малой порядка не ниже чем  в виде линейной комбинации приращений аргументов

r=au+bv+(u, v).

(Здесь, как и ранее =[(u−u₀)²+(v−v₀)²]^1/2=[(u)²+(v)²]^1/2.)

Эта линейная часть приращения вектор-функции называется ее дифференциалом и обозначается так

dr=au+bv.

Теорема. Если функция дифференцируема, то она имеет частные производные 1-го порядка, причем r_u=a r_v=и. Это следует непосредственно из выражения для приращения r где следует поочередно перейти к пределу при u0 и при v0, предварительно разделив обе части равенства на эти приращения. Обратное утверждение не всегда верно.

С учетом этой теоремы и известных равенств u=du, v=dv для дифференциала получаем

dr=r_udu+r_vdv.

На основе другой известной теоремы из анализа имеем также.

Если частные смешанные производные r_uv, r_vu непрерывны, то они равны r_uv=r_vu.

Правила частного дифференцирования вектор-функции двух скалярных переменных, очевидно, остаются теми же, что вектор-функции одной переменной, которые получаются из основного правила и из соответствующих правил анализа для дифференцирования обычных функций.

Вектор-функция двух скалярных аргументов разложима в ряд Тейлора, если разложимы в этот ряд ее координаты.

Вектор-функция называется принадлежащей классу C^k (k1), если она обладает непрерывными частными производными до k-го порядка включительно. В дальнейшем будем считать вектор-функцию принадлежащей классу, необходимому при решении конкретной рассматриваемой задачи.

Определение, задание и уравнения поверхности

Пусть в некоторой области D плоскости (u, v) задана вектор-функция двух переменных r=r(u, v), где r=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) есть радиус-вектор точек пространства, проведенный из начала некоторой системы координат в E³. Эта вектор-функция определяет отображение DE³ точек области D плоскости (u, v) в точки трехмерного евклидова пространства E³. Такое отображение называется параметризованной поверхностью, а вектор-функция

r=r(u, v)

и ее координатное представление

x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v)

называется координатно-векторными параметрическими уравнениями поверхности.

Неупорядоченное множество или геометрическое место всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнениям поверхности, или совокупность всех параметризаций называется поверхностью – носителем.

Данная параметризация поверхности называется регулярной класса C^k (k1), если функции x(u, v), y(u, v), z(u, v)C^k и для (u, v)D выполняется условие r_ur_v0. В противном случае точка (u, v) поверхности называется особой точкой для данной ее параметризации.

Пример.

r=r₀+ua+vb, a, b=const, ab0.

Носителем является плоскость, определяемая точкой r₀ и векторами a, b. Так как существуют частные производные от r любого порядка и

r_u=a, r_v=b, r_ur_v=ab0,

то поверхность является регулярной класса C^k, где k – любое натуральное.

Условие отличия векторного произведения r_ur_v от нуль-вектора, очевидно, можно записать в виде

rang =2.