Упражнения

1. Укажите направление на поверхности в данной ее точке, в котором нормальная кривизна равна средней кривизне. Ответ. Это направление составляет угол /4 с каждым из главных направлений.

2. Какова размерность коэффициентов квадратичных форм?

25. 25. Линии кривизны и их внутренние дифференциальные уравнения

Линиями кривизны на поверхности называются кривые, у которых направление в каждой точки является главным направлением поверхности в этой точке. Для главных направлений и главных кривизн мы имели уравнения

(L−kE)du+(M−kF)dv=0;

(M−kF)du+(N−kG)dv=0.

Исключая из этих уравнений главную нормальную кривизну k, получим дифференциальное внутреннее уравнение для линий кривизны (проделать самим) в развернутом виде

(ME−LF)du²+(NE−LG)dudv+(NF−MG)dv²=0.

Его можно записать также в легко запоминаемой форме

=0.

Это нелинейное дифференциальное уравнение. Его можно привести к системе двух линейных уравнений. Для этого представим это уравнение в виде

Adu²+2Bdudv+Cdv²=0, A=ME−LF, 2B=NE−LG, C=NF−MG или

A²+2B+C=0, (=du/dv).

Тогда путем разложения на линейные множители квадратного трехчлена получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений

Adu+(B+ )dv=0,

Adu+(B− )dv=0.

При заданных начальных значениях и соответствующих свойствах коэффициентов эти уравнения имеют единственное решение, что и доказывает существование линий кривизны на регулярной поверхности.

Нормали линии кривизны образуют развертывающуюся поверхность. Первая и вторая квадратичные формы пропорциональны вдоль линии кривизны. (?тсмт, 195 со ссылкой на Нордена?).

Линия кривизны при инверсии поверхности преобразуются в линии кривизны. (Милинский.236, Погорелов, ?).

Если две поверхности пересекаются по некоторой кривой под постоянным углом и если эта кривая является линией кривизны одной из поверхностей, то она есть линия кривизны и для другой. Наоборот, если линия пересечения двух поверхностей есть для них линия кривизны, то угол между этими поверхностями вдоль линии пересечения постоянный (теорема Иохмисталя – Милинский,217; Погорелов,134).

Тройные ортогональные системы поверхностей. Теорема 1 Дюпена. Эллипсоидальные координаты (факуьтатив)

Во всякой тройной ортогональной системе поверхностей кривые, по которым ортогонально пересекаются входящие в систему поверхности, есть линии кривизны для этих поверхностей. (Теорема 1 Дюпена – Милинский, 224).

Тройные ортогональные системы поверхностей играют важную роль как в самой математике, так и в различных ее приложениях к математической физике, теории упругости и т. д. Вследствие этого задача об определении и построении новых типов ортогональных систем является очень важной, хотя и очень трудной. Основой при этом является эта знаменитая теорема Дюпена.

Примером может служить система софокусных поверхностей второго порядка:

(0x²/(a²−)+y²/(b²−)+z²/(c²−)=1, a>b>c. (0)(5.21)( 5 .21)

Каждому значению параметра  соответствует некоторая определенная поверхность. Именно, при >c² будем иметь семейство софокусных эллипсоидов, при c²<<b² – однополостные гиперболоиды, при b²<<a² – двуполостные гиперболоиды. Другими словами, мы по уравнению (0) можем построить три семейства поверхностей, которые, как оказываются, образуют тройную ортогональную систему. Можно также доказать (Милинский, с. 226-227), что через каждую точку пространства проходят три поверхности типа (0) и никакие две из них не принадлежат одному семейству.

Отсюда следует, что для всякой данной точки пространства мы будем иметь три вещественных неравных корня _i кубического уравнения (0) (?Каков вид этих уравнений, не связан ли он с характеристическим уравнением p₃ или q₃-пропорции при определенной зависимости коэффициентов?) и соответствующие им три поверхности, пересекающиеся в этой точке, причем a²>₁>b²>₂>c²>₃. Поэтому три эти числа можно считать криволинейными координатами точек пространства, которые принято называть эллипсоидальными.

Их связь с декартовыми координатами следует из формулы (0), представленной в виде системы трех уравнений (Милинский, с. 226, Смирнов, т.2, 423, Суслов, с. 262)

x²/(a²−₁)+y²/(b²−₁)+z²/(c²−₁)=1, a²>₁>b²,

x²/(a²−₂)+y²/(b²−₂)+z²/(c²−₂)=1, b²>₂>c²,

x²/(a²−₃)+y²/(b²−₃)+z²/(c²−₃)=1, ₃>c².

Для плоского случая, в частности, получаем эллиптические координаты (x?=0) (см. файл E:\awk\nd3\dglkzprg\dg-lkz\tp2-1-prlg1.doc).

y²/(b²−₂)+z²/(c²−₂)=1, b²>₂>c²,

y²/(b²−₃)+z²/(c²−₃)=1, ₃>c². Или

y²(c²−₂)+z²(b²−₂)=(b²−₂)(c²−₂),

y²(c²−₃)+z²(b²−₃)=(b²−₂)(c²−₂),

Отсюда, найдем

y²=?, z²=?.