Контрольные вопросы

1. Чему равна нормальная кривизна поверхности в направлении линии кривизны?

2. Чему равна нормальная кривизна конической поверхности в направлении её образующей, является ли она главной?

27. 27. Асимптотические линии на поверхности

(?См. рукописный конспект лекций?).

Кривая на поверхности называется асимптотической, если её нормальная кривизна равна нулю. Из этого определения следует, что главная нормаль асимптотической в любой её точке лежит в касательной плоскости поверхности.

Внутреннее дифференциальное уравнение асимптотической, очевидно, имеет вид

Ldu²+2Mdudv+Ndv²=0.

Касательные к асимптотическим линиям называются асимптотическими касательными или асимптотами поверхности (?Бляшке, 118) (в данной точке касания на ней – АВК?).

Нормальное сечение, проходящее через асимптоту, имеет точку перегиба в точке касания с асимптотой. (?Бляшке, 118). (Т.е. точка касания нормального сечения с асимптотой является? точкой перегиба нормального сечения – АВК). Это следует непосредственно из определения асимптотической и из формулы для нормальной кривизны.

Не во всякой точке и не на всякой регулярной поверхности существуют асимптотические линии.

Для гиперболической поверхности (K<0, LN−M ²<0) через каждую её точку проходят две вещественные асимптотические. Касательные к ним совпадают с асимптотами индикатрисы Дюпена в данной точке. В параболических точках поверхности (LN−M ²<0), если II не тождественный нуль, существует только одно асимптотическое направление. В эллиптическом случае (K>0, LN−M ²>0) асимптотические касательные мнимы, действительных асимптотических нет.

Два направления в точке поверхности на касательной плоскости называются сопряженными, если они в этой точке гармонически делятся асимптотическими касательными, два направления в точке поверхности на касательной плоскости сопряжены относительно асимптотических направлений в этой точке (т.е. образуют вместе с асимптотическими направлениями гармонический пучок прямых)).

Ясно?, что сопряженные направления поверхности являются сопряженными диаметрами индикатрисы Дюпена как кривой второго порядка (конического сечения). О сопряженных диаметрах кривой второго порядка см. в курсе алгебры и геометрии, об этом напоминается здесь далее. Рассмотрение сопряженных направлений в теории поверхностей связано (сопряжено, да простится каламбур, от которого трудно в этой ситуации удержаться) с интересными свойствами сопряженных диаметров выявляющих и отражающих соответствующие свойства кривых второго порядка, которые через посредство индикатрисы Дюпена переносятся и на свойства поверхностей. Это, в частности, вопрос построения сопряженных сетей с некоторыми их замечательными свойствами, заключающимися, например, в сохранении асимптотичности и сопряженности при преобразованиях координат методом взаимных поляр или при гомографических преобразованиях.

Сопряженность направлений (факультатив)

Условие сопряженности двух направлений m:ℓ=k и m:ℓ=k относительно кривой второго порядка

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0

имеет вид [²³, с. 232]:

(0a₁₁ℓℓ+a₁₂(ℓm+mℓ)+a₂₂mm=0. (слева – билинейная форма). (0)7.25( 7 .25)

Или через угловые коэффициенты k, k сопряженных направлений (АВК, Милинский, 246)

a₁₁+a₁₂(m/ℓ+m/ℓ)+a₂₂(m/ℓ)(m/ℓ)=0.

(0a₁₁+a₁₂(k+k)+a₂₂kk=0. (0)7.26( 7 .26)

В соответствии с этим условие сопряженности двух направлений du:dv, u:v относительно индикатрисы Дюпена будет иметь вид

Lduu+M(duv+dvu)+Ndvv=0.

(Это условие с учетом ? можно представить также в виде [²⁴, c. 249]

drn=0 или rdn=0,

который дает возможность интересной интерпретации [²⁵, с. 311]). Или через угловые коэффициенты ₁=du:dv, ₂=u:v сопряженных направлений

(0L+M(₁+₂)+N₁₂=0. (0)7.27( 7 .27)

Каждый из двух взаимно-сопряженных диаметров кривой 2-го порядка является геометрическим местом середин хорд этой кривой, параллельных другому диаметру. Проведем какой-нибудь диаметр AB эллипса, а затем какую-нибудь такую хорду СВ, которая делится этим диаметром пополам. (Через каждую точку C эллипса проходит единственная такая хорда). Тогда все другие хорды, параллельные этой, тоже будут делиться данным диаметром пополам, в т.ч. и хорда CD, проходящая через центр эллипса, которая является вторым диаметром, сопряженным первому. К тому же придем, если сначала аналогично будем рассматривать диаметр CD.

Гиперболу пересекает только один из сопряженных диаметров, другой пересекает гиперболу, сопряженную данной.

Условие сопряженности (0) будет означать, что асимптоты гиперболы с угловыми коэффициентами tg₁=−b/a, tg₂=b/a и сопряженные диаметры с угловыми коэффициентами tg₃, tg₄ в главных осях (a₁₂=0, a₁₁/a₂₂=−b²/a²) связаны соотношением [²⁶, с. 61, 68], [²⁷, c. 322]

(0tg₃tg₄=−a₁₁/a₂₂=b²/a²=tg²₂=tg²₁. (0)(7.28)( 7 .28)

Известно [²⁸, с. 119], [²⁹, c. 311], что направления сопряженных диаметров и асимптот гиперболы состоят в гармоническом отношении.