Обобщение теоремы Менье

На рис. Error: Reference source not found приведено разложение вектора кривизны k_=k_ кривой на поверхности по двум взаимно перпендикулярным направлениям на составляющие k_g и k_n, которые представляют собой векторы кривизны кривых-проекций данной кривой на плоскость нормального сечения и на касательную плоскость соответственно.

(Вектор _=(1/k_)=[1/(k_n²+k_g²)^1/2] ра кривизны кривой также можно разложить по этим направлениям).

Для суммы и разности составляющих этого разложения имеем

k_nn+k_gb=k_(cosn+sinb)=k_; =cosn+sinb; k_n=k_cos, k_g=k_sin,

k_nn–k_gb=k_(cosn−sinb).

Запишем также векторы, равные сумме и разности векторов радиуса нормальной и геодезической кривизн

(1/k_n)n+(1/k_g)b=[1/(k_nk_g)](k_gn+k_nb)=[k_/(k_nk_g)](sin∙n+cos∙b),

(1/k_n)n−(1/k_g)b=[1/(k_nk_g)](k_gn–k_nb)=[k_/(k_nk_g)](sin∙n–cos∙b).

Отсюда и из рисунка видно, что центр кривизны нормального сечения ортогонально проецируется в центр кривизны наклонного сечения. (Теорема Менье).

Покажем это еще аналитически. Проецируя вектор (1/k_n)n радиуса кривизны нормального сечения на направление орта  главной нормали кривой, получим

(1/k_n)n∙=(1/k_n)n∙(cosn+sinb)=(1/k_n)cos=(1/k_n)(k_n/k_)=1/k_=_.

Это составляет сущность теоремы Менье.

Кроме того, видно, что разность векторов радиуса нормальной и геодезической кривизн перпендикулярна сумме векторов нормальной и геодезической кривизн, равной вектору k_ кривизны кривой, в силу того, что скалярное произведение этой разности и  равно нулю. (Сумма же составляет угол  с , который определяется так cos=sin2, =/2−2, и угол  с касательной плоскостью, т.е. такой же как и вектор кривизны кривой с нормалью поверхности).

Отсюда следует, что центр геодезической кривизны (центр кривизны проекции кривой на касательную плоскость) проецируется также как и центр кривизны нормального сечения в центр кривизны наклонного сечения (См. также [⁹, с. 316], Struik,129).

(1/k_g)(b∙)=(1/k_g)b∙(cosn+sinb)=(1/k_g)sin=(1/k_g)(k_g/k_)=1/k_=_.

Из последних соотношений также следует, что сумма векторов радиуса нормальной и геодезических кривизн перпендикулярна разности векторов нормальной и геодезических кривизн.

В итоге полученные результаты сформулируем в виде следующей теоремы. Векторы нормальной и геодезической кривизн кривой на поверхности и векторы радиусов этих кривизн связаны тем, что сумма одних ортогональна разности других, причем сумма векторов радиуса кривизн составляет такой же угол с касательной плоскостью поверхности как и сумма векторов кривизн с нормалью этой поверхности (см. рис. ?).

Концы векторов нормальной и геодезической кривизн некоторой кривой на поверхности проецируются в центр кривизны кривой, главная нормаль которой составляет угол  с касательной плоскостью.

Кривизны и их радиусы можно менять ролями, меняя при этом отсчет угла  от нормали к поверхности, на отсчет от касательной плоскости.

Следует отметить, что теорема Менье следует как частный случай из этой более общей теоремы.

Из нее, в частности, имеем, что вектор кривизны данной кривой на поверхности, равный сумме векторов нормальной и геодезической кривизн, ортогонален разности векторов радиуса нормальной и геодезической кривизн при соответствующих соотношениях между кривизнами и радиусами кривизн.

Это обстоятельство по аналогии позволяет рассматривать на поверхности кроме данной кривой, кривую, вектором кривизны которой является вектор полного радиуса кривизны данной кривой, равный сумме ее векторов радиуса нормальной и геодезической кривизн. Вектором полного радиуса кривизны этой кривой будет являться разность векторов нормальной и геодезической кривизн данной кривой. Назовем такую кривую на поверхности сопряженной данной. Если главная нормаль данной кривой образует угол  с нормалью поверхности, то главная нормаль сопряженной кривой образует тот же угол с вектором b, т.е. с касательной плоскостью, так что сумма двух углов по  каждый и угла между векторами кривизны данной и ей сопряженных кривых равна прямому углу.

Отметим, что знак cos зависит от нашего выбора направления вектора нормали поверхности в одном из двух противоположных направлений, что характеризуется углами , отличающимися на , но величина |cos| не зависит от этого выбора: |cos()|=|cos|. Кроме того, следует отметить, что отклонение наклонного сечения от нормального на угол  возможно как в одну сторону, так и в другую. Следовательно, существует два наклонных сечения, в центр кривизны которых проецируется центр кривизны нормального сечения.