Эквивалентные поверхности
Две поверхности
r=r1(u1, v1), r=r2(u2, v2), (u1, v1)D1, (u2, v2)D2
называются эквивалентными, если существуют такие функции u2=u2(u1, v1), v2=v2(u1, v1), что r=r2(u2(u1, v1), v2(u1, v1))=r1(u1, v1).
При этом наряду с функциями u2=u2(u1, v1), v2=v2(u1, v1) предполагается существование обратных функций u1=u1(u2, v2), v1=v1(u2, v2). Необходимым и достаточным условием существования обратных функций, как известно из анализа, является отличие от нуля якобиана
0.
Если существует отображение D1D2: u2=u2(u1, v1), v2=v2(u1, v1) такое, что при u2(u1, v1), v2(u1, v1)Ck обратные функции u1(u2, v2), v1(u2, v2)Ck, то оно называется диффеоморфизмом.
Тогда условие эквивалентности поверхностей можно сформулировать следующим образом. Две поверхности эквивалентны, если существует диффеоморфизм такой, что
r=r2(u2(u1, v1), v2(u1, v1))=r1(u1, v1).
Эквивалентные поверхности имеют один и тот же носитель. Их можно рассматривать как различные параметризации одной и той же поверхности.
Как уже отмечалось выше, поверхность может быть задана также как график функции двух переменных. Здесь уточним это понятие. РПП называется графиком функции двух переменных, например, z=z(x, у), если для нее существует параметризация
x=u,
y=v,
z=z(u, v).
Поверхность может быть задана также неявным уравнением F(x, y, z)=0.
Можно говорить об эквивалентности этих заданий, хотя бы в локальном смысле, т.е. в окрестности некоторой данной точки.
Теорема. Любая РПП локально в окрестности не особой точки эквивалентна графику функции двух переменных z=z(x, y), т.е. может быть представлена в виде x=u, y=v, z=z(u, v).
Доказательство. Пусть есть РПП r=r(u, v) или
x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v).
Тогда в силу регулярности
rang
=2.
Пусть,
например, для определенности
0.
Тогда по теореме о неявных функциях в
окрестности данной точки существует
обратное преобразование с обратной
также невырожденной матрицей
u=u(x, y), v=v(x, y),
и мы получаем уравнение поверхности как график функции двух переменных: z=z(u, v)=z(u(x, y), v(x, y))=z(x, y). При этом формально обозначаем .x=x=u, y=y=v.
Можно показать, что в окрестности не особой точки все способы задания, включая неявный, эквивалентны.
Так
что, при неявном задании регулярной
поверхности в виде F(x1, x2, x3)=0
ее всегда можно записать также в
параметрической форме, например так:
xi=u,
xj=v,
xk=xk(u, v)=xk(xi, xj),
где
0.
После этого можно применять все
соотношения и понятия, получаемые обычно
для параметризованных поверхностей.
Упражнения.
1. Составить параметрические уравнения плоскости, сферы, цилиндра и конуса. Для сравнения привести также неявные уравнения этих поверхностей.
Ответ. (x2+y2)/a2−z/c2=0 (конус).
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки. Указание. Использовать формулу для вычисления объема параллелепипеда, определяемого тремя векторами-ребрами.
3
.
Записать параметрические уравнения
кривой Вивиани - линии пересечения сферы
x2+y2+z2=r2
и цилиндра x2+y2=rx
(рис. Error: Reference source not found).
Указание. В качестве параметра удобно взять географическую координату, убедившись сначала в том, что для точек этой кривой обе географические координаты равны друг другу (широта совпадает с долготой, это видно из рассмотрения полярного радиуса точки кривой как проекции на полярный луч радиуса сферы в полярной плоскости и в вертикальной).
Ответ: x=rcos2u, y=rcosu∙sinu, z=rsinu, где u есть полярный угол точек кривой в плоскости (x, y), он же является одновременно и долготой и широтой в географических координатах точек данной кривой на сфере.
4. Написать
уравнение касательной кривой на сфере
x2+y2+z2=a2
в точке с нулевой широтой, в северном
полюсе и в точке (a/2, a/2, 
a/2),
если эта кривая есть линия пересечения
сферы с цилиндром x2+y2=ax.
В качестве a взять
конкретное натуральное число.
Ответ:(x−a)/0=y/a=z/a, x/0=−y/(−a)=(z−a)/0 и
(x−a/2)/(−a/2)=(y−a/2)/0=(z− a/2)/( a/2).
5. Найти координаты точки кривой – линии пересечения двух поверхностей, заданных уравнениями x2+y2+z2=a2, x2+y2=ax, если направление касательной в этой точке определяется вектором: а) (0, b, b); б) (0, b, 0).
Ответы: а) (a, 0, 0); б) (0, 0, a). (Число a при индивидуализации задания удобно считать равным номеру слушателя в списке, или сложенному с единицей остатку от деления на 30 числа, представленного двумя последними цифрами в номере зачетной книжки или студенческого билета; число b может быть любым).