Литература

Иванов А.О., Тужилин А.А[³⁹]

Литература концевыми

Алфавитный указатель

асимптотические касательные 90

билинейная квадратичная форма 65

вектор-функция двух скалярных аргументов 56

гармонический пучок прямых 90

главные кривизны поверхности 77

главные направления на поверхности 77

деформация 67

индикатриса Дюпена 76

координатные линии 62

кривизна

геодезическая 68

нормальная 68

линия на поверхности

асимптотическая 90

геодезическая 86

линия кривизны 83

направления

сопряженные 90

поверхность как график функции двух переменных 55

поверхность как семейство кривых 55

преобразования

гомографические 91

псевдосфера Бертрана 82

сети на поверхности

сопряженные 91

сеть на поверхности

правильная 63

формоизменение 67

Рабочий алфавитный указатель с перекрестными ссылками

«Асимптота» эллипса

асимптотические касательные 90

билинейная форма

гармоническая пара направлений

гармонический пучок прямых 90

гессиана

гипербола и эллипс софокусные гирационные

золотая пара направлений

кручение

геодезическое или относительное Error: Reference source not found

линия на поверхности

асимптотическая 90

геодезическая 86

линия кривизны 83

направления

сопряженные 90,

преобразования

гомографические 91

сети на поверхности

сопряженные 91

сопутствующая пара гипербол

Резервные вопросы теории поверхностей

*Геодезическое кручение. Равенство нулю вдоль линии кривизны. Натуральные уравнения линии кривизны ().

*Линейчатые поверхности развертывающиеся и неразвертывающиеся.

*Огибающая одно и двухпараметрического семейства поверхностей при различных формах задания семейств.

*Основные уравнения теории поверхностей. «egregium theorem – превосходная» (Выг. Д/г, 446; Бляшке,104 – простое доказательство (R. Baltzer)). Деривационные формулы Гаусса. (деривация – операция нахождения производной – Выгодский, д/г, стр. 451). Уравнения Гаусса. Формулы Вейнгартена. Уравнения Кодацци (Петерсона-Майнарди). Хорошо у Финикова на основе кинематических представлений.

Алфавитный указатель

Алфавитный указатель

асимптотические касательные 90

билинейная квадратичная форма 65

вектор-функция двух скалярных аргументов 56

гармонический пучок прямых 90

главные кривизны поверхности 77

главные направления на поверхности 77

деформация 67

индикатриса Дюпена 76

координатные линии 62

кривизна

геодезическая 68

нормальная 68

линия на поверхности

асимптотическая 90

геодезическая 86

линия кривизны 83

направления

сопряженные 90

поверхность как график функции двух переменных 55

поверхность как семейство кривых 55

преобразования

гомографические 91

псевдосфера Бертрана 82

сети на поверхности

сопряженные 91

сеть на поверхности

правильная 63

формоизменение 67

Алфавитный указатель с перекрестными ссылками

билинейная квадратичная форма 65

вектор-функция двух скалярных аргументов 56

главные кривизны поверхности 77

главные направления на поверхности 77

индикатриса Дюпена 76

координатные линии 62

кривизна

геодезическая 68

нормальная 68

поверхность

как график функции двух переменных 55

как семейство кривых 55

псевдосфера Бертрана 82

сеть на поверхности

правильная 63

формооизменение поверхности 67

Оглавление

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 55

Введение 55

Анализ векторных функций 2-х скалярных аргументов 56

Предел, непрерывность, частная производная, дифференциал вектор-функции двух скалярных аргументов 56

Дифференциал и дифференцируемость 57

Определение, задание и уравнения поверхности 58

Эквивалентные поверхности 59

Кривые на поверхности. Регулярность образа и прообраза 62

Координатные линии. Сеть на поверхности. Внутренние или криволинейные координаты 62

Касательная плоскость и нормаль поверхности 63

2. Квадратичные формы поверхности 64

18. Первая квадратичная форма поверхности и ее положительная определенность 64

19. Угол между кривыми на поверхности. Угол между координатными линиями 65

Угол между координатными линиями 65

Площадь поверхности. Пример (площадь сферы) 66

Внутренняя геометрия и ее элементы. (?Лучше это читать после полной (нормальной) и геодезической кривизн). Изометрия или изгибание как преобразование координат точек поверхности. Изгибание как механическое формоизменение 66

21. Вторая квадратичная форма поверхности. Триэдр Дарбу? Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении на ее касательной плоскости. Теорема Менье 67

Нормальная и геодезическая кривизна поверхности в данном направлении 69

Нормальное и наклонное сечения поверхности. Теорема Менье 69

Обобщение теоремы Менье 72

22. Главные направления и главные кривизны. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера для вычисления нормальной кривизны поверхности в данном направлении через главные кривизны 74

Формула Эйлера выражающая нормальную кривизну поверхности в заданном направлении через главные кривизны 77

23. Дифференциальные уравнения главных направлений и главных кривизн. Характеристическое уравнение поверхности 80

Характеристическое уравнение поверхности – уравнение для главных кривизн 81

24. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Свойства средней кривизны (?см. также E:\awk\nd3\dglkzprg\dg-lkz\tp2-1pr1.doc?) 82

Упражнения 83

25. 25. Линии кривизны и их внутренние дифференциальные уравнения 83

Тройные ортогональные системы поверхностей. Теорема 1 Дюпена. Эллипсоидальные координаты (факуьтатив) 84

Теорема 2 Дюпена (факультатив) 86

26. 26. Геодезические линии на поверхности. Их значение в механике. Нормаль, существование и единственность, свойство кратчайших. Натуральные уравнения 86

Примеры из механики и физики 87

Контрольный вопрос 87

Историческая справка 87

Внутренние дифференциальные уравнения геодезической линии. Символы Кристоффеля 88

Контрольные вопросы 90

27. 27. Асимптотические линии на поверхности 90

Сопряженность направлений (факультатив) 91

Ангармоническое (сложное) отношение (факультатив) 92

Свойства асимптот гиперболы (опустить? или сократить до формулировок утверждений)(факультатив) 94

Гармонизм (факультатив) 96

Построение отношения пяти точек см. [Колмогоров] … 99

Асимптотические линии на линейчатой поверхности. Уравнение Риккати как дифференциальное уравнение асимптотической (факультатив) 100

Основные уравнения теории поверхностей 101

Деривационные формулы (Аналог формул Френе из теории кривых) 101

Формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци 101

Существование и единственность поверхности с заданными квадратичными формами. Теорема Боне 101

Историческая справка 102

8. Приложение 1 102

Примеры лиейчатых поверхностей 102

Пример 1. Поверхность бинормалей (факультатив) 102

Роль замечательных линий на поверхности в биологии (факультатив) 103

Разное 105

Литература 106

Литература концевыми 107

Рабочий алфавитный указатель с перекрестными ссылками 88

Резервные вопросы теории поверхностей 55

Алфавитный указатель 56

1 Следует отметить, что существуют векторные функции векторного аргумента. См., например, Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т.1-5. – М.: УРСС, 2001; Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.

2 Трактриса (линия влечения, собачья кривая) – это эвольвента цепной линии y=ach(x/a), кривая, отрезок касательной которой, отсекаемый прямой (ее асимптотой) имеет постоянную длину a (база трактрисы). Есть еще кривая погони.

1 Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., Ляшко И.И. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т.1-5. – М.: УРСС, 2001.

2 Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.

3 Чебышев П.Л. О кройке одежды // Успехи математических наук, 1946. Т. 1, вып. 2; Перевод с французского: Tchebycheff P. Sur la coupe des vetements // Assoc. Frans. – 1878. Oeuvres II). (Из Шикина, с. 324).

4 Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М.: ИЛ, 1960. – 560 с.

5 Struik Dirk J. Lectures on classical differential geometry. – New York: Dover publication, inc. – 1988. – ­232 pp.

6 Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия.­ – ­М. – Л.: ГИТТЛ, 1949.­ – ­511 с. (См. отдельный файл; на эту книгу есть ссылка и у Стройка) – C:\awk\nd5\bblgr\bblgr1\1a-z.doc, C:\awk\nd5\bblgr\bblgr22\wigodski.doc.

7 Позняк Э.Г. Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

8 Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Пер. с нем. Т.1. – М. – Л.: ОНТИ, 1935. – 330 с.

9 Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М.: ИЛ, 1960. – 560 с.

10 Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

11 Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1986. – 416 с.

12 Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. – Л.: КУБУЧ, 1934. – 332 с.

13 Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. – Л.: КУБУЧ, 1934. – 332 с.

14 Позняк Э.Г. Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

15 Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М.: ИЛ, 1960. – 560 с.

16 Феденко А.С.: Сборник задач по дифференциальной геометрии / Белько И.В., Ведерников В.И. и др. – М.: Наука, 1979. – 272 с. (стр. 190, 244, зад. 881, 883).

17 Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. – Л.: КУБУЧ, 1934. – 332 с.

18 Позняк Э.Г. Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

19 Калинин Э.В. Инженерно-геологические расчеты и моделирование: Учебник. – М. : Изд-во МГУ, 2006. – 256 с. ВГУ 62 К172.

20 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М. : Наука, 1970. – 544 с.

21 Крутов А.В. Обобщение теоремы Менье в теории поверхностей / А.В. Крутов // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. – Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2003. – С. 66–70. E:\awk\konferenz\krutov03vaso\krutov1\invers10-3.doc, см. также E:\awk\nd3\mr\menje.doc и там же файлы серии invers).

22 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М. : Наука, 1970. – 544 с.

23 Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1986. – 416 с.

24 Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. – Л.: КУБУЧ, 1934. – 332 с.

25 Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М.: ИЛ, 1960. – 560 с.

26 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М. : Наука, 1968. – 720 с.

27 Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М. : Наука, 1980. – 986 с.

28 Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Пер. с нем. Т.1. – М. – Л.: ОНТИ, 1935. – 330 с.

29 Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. – М. : ИЛ, 1960. – 560 с.

30 Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. – М. : Просвещение, 1969. – 368 с.

31 Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. – М. : Просвещение, 1969. – 368 с.

32 Крутов А.В. Линии раздела кривых-контуров формуемых заготовок // Информационные технологии и системы. Науч. Изд. – Вып. 4 / Воронеж. Гос. Технол. Акад. – Воронеж, 2001. – С. 161–166.

33 Крутов А.В. Линии раздела кривых-контуров формуемых заготовок // Информационные технологии и системы. Науч. Изд. – Вып. 4 / Воронеж. Гос. Технол. Акад. – Воронеж, 2001. – С. 161–166.

34 Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1969. – 368 с.

35 Колмогоров Н.А. Теория ангармонического отношения пяти точек плоскости. – Тр./ Кировский зоотехн. - ветер. ин-т. 1938, т.3, вып. 2-3. С. 161–168. (Из Петухова С.В. п.117).

36 Петухов С.В. Геометрии живой природы и алгортмы самоорганизации. – М. : Знание, 1988. – 48 с. – (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 6.

37 Белоусов Л. В. Биологический морфогенез. — М. : МГУ, 1987. - 238 с.

38 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 296 с. (ВГУ 51 П308).

39 Иванов А.О., Тужилин А.А. Лекции по классической дифференциальной rеометрии: уче6. пособие. - М.: Университетская книrа; Лоrос, 2009. - 224 с. илл. (Новая университетская библиотека). ISBN 978-5-98704-З0-8 D:\awk\nd3\dg\dglkzprg\knigi\Иванов.dgvu (поиск +)­ Сделано в djvu с твердого оригинала книги студенткой 2к. гр. мех. 2011-2012-1. (По УДК И20).