Контрольный вопрос

Винтовая линия, кривая Упаккра на какой поверхности являются геодезическими?.

Историческая справка

Клеро Алексис в 16 лет доказал в 1729 году теорему: Вдоль геодези­ческих поверхности вращения произведение расстояния от оси вращения на косинус угла между геодезической и параллелью остается постоянным. Первые научные результаты  в 12,5 лет, в 18 лет  член Парижской академии наук.

Внутренние дифференциальные уравнения геодезической линии. Символы Кристоффеля

(До обозначенного ниже места по Погорелову, (см. также Шикин, Позняк) далее мое. – АВК)

Для получения уравнений геодезических линий запишем выражение геодезической кривизны в виде

k_g=kb=knb=r¢¢(s)b=(r¢¢(p)b)/|r¢|²=(r¢¢tn)/|r¢|²=(r¢¢r¢n)/|r¢|³.

Преобразуем его. Разложим вторую производную r¢¢ радиус-вектора точек поверхности по векторам базиса Картана (r_u, r_v, n) и представим коэффициенты разложения с помощью символов Кристоффеля = ? рода.

r¢¢=r_u+r_v+n; r¢=r_uu¢+r_vv¢;

r¢¢=(r_uu¢+r_vv¢)¢=r_uuu¢²+2r_uvu¢v¢+r_vvv¢²+r_uu¢¢+r_vv¢¢;

r_uu= r_u+ r_v+(r_uun)n, =u¢¢+ u¢²+2 u¢v¢+ v¢², (r_uun)=³₁₁,

r_uv= r_u+ r_v+(r_uvn)n, =v¢¢+ u¢²+2 u¢v¢+ v¢², (r_uvn)=³₁₂,

r_vv= r_u+ r_v+(r_vvn)n; =Lu¢²+2Mu¢v¢+Nv¢², (r_uvn)=³₂₂.

r¢¢=r_u+r_v+n; r¢=r_uu¢+r_vv¢. =?.

В соответствии с определением геодезических линий приравняем нулю выражение геодезической кривизны, получим с учетом приведенных обозначений

k_g=(r¢¢r¢)n/|r¢|³=(v¢−u¢)|r_ur_v|/|r¢|³=0; r_ur_v0.

Отсюда будем иметь внутреннее дифференциальное уравнение геодезической линии

(u¢¢+A)v¢−(v¢¢+B)u¢=0,

где

A=−u¢¢= (u¢)²+2 u¢v¢+ (v¢)²,

(8)(6.22)( 6 .22)

B=−v¢¢= (u¢)²+2 u¢v¢+ (v¢)².

Полученное внутреннее дифференциальное уравнение геодезической линии неоднозначно, так как содержит две искомые функции: u(p) и v(p).. Это обусловлено произвольностью p-параметризации искомой геодезической линии. (?Далее – Крутов А.В.?).

Выявим зависимость от параметризации и используем её для получения рабочих дифференциальных уравнений.

Представим r¢¢ в виде разложения по векторам базиса Дарбу , n, b

r¢¢=(r¢¢)+(r¢¢n)n+(r¢¢b)b.

Положим для геодезической

k_g=(r¢¢b)=0. (9)(6.23( 6 .23)

Получим

r¢¢−(r¢¢n)n=(r¢¢)=(r¢¢)(r_uu¢+r_vv¢)/|r¢|. (10)(6.24( 6 .24)

Сравнивая это с выражением, полученным выше и приравнивая в них коэффициенты при r_u, r_v, найдем

=u¢¢+A=[(r¢¢)/|r¢|]u¢, =v¢¢+B=[(r¢¢)/|r¢|]v¢.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение геодезической линии в виде

(u¢¢+A)/u¢=(v¢¢+B)/v¢=(r¢¢)/|r¢|.

Или

(u¢¢+A)v¢=(v¢¢+B)u¢=u¢v¢(r¢¢)/|r¢|=u¢v¢s¢¢/|s¢(p)|=−u¢v¢p¢¢(s)/p¢².

Будем рассматривать такие параметризации геодезической линии, при которых (r¢¢)=0. Этому условию отвечает натуральная s-параметризация или любая другая q-параметризация, параметр q которой связан с дуговой координатой s линейным соотношением as+bq=c, где a, b, =c=const, (назовем её псевдонатуральной или квазинатуральной?). Ясно, для этой параметризации будем иметь (r¢¢)=p¢¢(s)=q¢¢(s)=0. Тогда получаем систему двух дифференциальных уравнений для двух искомых функций u=u(q) и v=v(q), представляющих собой внутренние дифференциальные уравнения геодезической r=r(u(q),v(q))=r(q).

(u¢¢+A)v¢=0,

(v¢¢+B)u¢=0.

Эта система имеет при заданных начальных условиях и свойствах коэффициентов единственное решение, что и доказывает существование и единственность геодезической в любой точке регулярной кривой в любом из заданных в рамках начальных условий направлений.

Нельзя ли так с самого начала?

Замечание. По-видимому, для любой гладкой плоской кривой можно указать поверхность, для которой параметрические уравнения этой кривой есть внутренние уравнения геодезической на ней. Тогда это дает дифференциальные уравнения для параметрического описания плоских кривых.