Построение отношения пяти точек см. [Колмогоров35] … Асимптотические линии на линейчатой поверхности. Уравнение Риккати как дифференциальное уравнение асимптотической (факультатив)
Уравнение линейчатой поверхности имеет вид
R = r(v)+ ue(v).
Вычисляем cначала коэффициенты L, М, N:
R11 = 0; R12 = e'; R22=kn+ue"; HL = mR11 = 0; HM= mR22 = t [e'e];
HN = kn [et] + ue" [et] + kun[ее'] + u2е" [ее'].
Подставляя в общее уравнение асимптотических линий:
Ldu2 + 2 Мdudv + Ndv2=0,
получим:
2 Mdudv+Ndv = 0;
откуда получаем уравнения обоих семейств:
dv = 0; 2Mdu+Ndv = 0.
Первое из этих уравнений дает v = const, т. е. прямолинейные образующие, что и следовало ожидать.
Рассмотрим уравнение второго семейства:
2 Mdu + Ndv = 0.
П
одставляя
сюда найденные значения М
и N
и решая затем это уравнение относительно
du:dv,
найдем:
du/dv=Pu2+ Qu + U,
где Р, Q, U — функции от v. Это есть уравнение Риккати.
Если u1, u2, u3, u4 суть его частные решения, то, как известно, можно написать:
(u1−u2)/(u1−u3):(u4−u2)/(u4−u3)=const.
Так как это соотношение справедливо при любом v, то отсюда непосредственно следует интересное геометрическое свойство асимптотических линий. Именно, любые четыре асимптотические линии пересекают каждую образующую в четырех точках, ангармоническое отношение которых постоянно, т. е. не меняется при переходе от одной образующей к другой. Далее в Приложении рассмотрим примеры некоторых линейчатых поверхностей.
(Заметим, что к уравнению Риккати приводятся многие интересные задачи, в частности, задача определения ортогональных траекторий семейства окружностей).
Основные уравнения теории поверхностей
Деривационные формулы (Аналог формул Френе из теории кривых)
(Погорелов,151). Кинематический подход см. Фиников. (факультатив)
Формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци
Первая и вторая квадратичные формы поверхности возможно не? являются независимыми. Тогда кривизна и кручение кривой также?
Существование и единственность поверхности с заданными квадратичными формами. Теорема Боне
Если заданы две квадратичные дифференциальные формы, одна из которых положительно определенная, то существует единственная поверхность-носитель, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
Историческая справка
Спрямление и интегрирование на эллипсоиде – Якоби К. Лекции по динамике. – М. – Л.: ОНТИ, 1936. (из ббл. Болсинова, Фоменко. Пер. с нем. под ред. Кошлякова Н.С. Стр. 187 – "…Это путь, которым Лежандр пришел к квадратуре поверхности эллипсоида (есть ссылка). Его работа имеет огромную важность в особенности потому, что при этом в первый раз были применены линии кривизны как аналитический инструмент для преобразования координат". Теорема Бине: Из системы софокусных поверхностей второго порядка через данную точку всегда проходит один эллипсоид, один однополый гиперболоид и один двуполый гиперболоид. Из этих трех систем каждая пересекает две другие под прямым углом. Бине первый доказал, что кривые пересечения будут в то же время линиями кривизны этих поверхностей. Шарль Дюпен в своих Développements de géometrie показал, что эта теорема всегда имеет место, если три системы поверхностей пересекаются взаимно ортогонально").