Теорема 2 Дюпена (факультатив)

Касательная к кривой на поверхности и касательная характеристики семейства касательных плоскостей поверхности в точках этой кривой являются сопряженными. (Теорема 2 Дюпена – Милинский, с. 245).

Характеристикой -семейства поверхностей F(x,y,z,)=0 называется кривая – линия пересечения двух поверхностей семейства, множество характеристик потенциально могло бы быть огибающей семейства, если бы такая существовала (также как критическая точка функции может быть экстремальной, но не всегда ею является). Огибающая самих характеристик называется ребром возврата (Милинский, с. 168, 170). В случаях, когда семейство образовано плоскостями, характеристиками будут являться прямые, касательные к ребру возврата.

Следствия.

1. Если около какой-нибудь поверхности описана развертывающаяся поверхность, то во всех точках кривой касания касательные к этой кривой будут сопряжены с образующими развертывающейся поверхности, проходящие через эти точки.

2. Для того, чтобы два семейства кривых на поверхности образовывали сопряженную сеть, необходимо и достаточно, чтобы касательные во всех точках любой кривой одного семейства, проведенные ко всем кривым второго семейства, пересекающим ее в этих точках, образовывали развертывающуюся поверхность.

26. 26. Геодезические линии на поверхности. Их значение в механике. Нормаль, существование и единственность, свойство кратчайших. Натуральные уравнения

Геодезическая кривизна кривой на поверхности – это проекция её вектора кривизны на касательную плоскость. Она равна кривизне проекции кривой на касательную плоскость.

Кривая на поверхности называется геодезической, если геодезическая кривизна во всех её точках равна нулю, также как обычная кривизна прямой. Малые дуги геодезических линий являются кратчайшими между их концами на поверхности, поэтому геодезические играют на поверхности ту же роль, что и прямые на плоскости. Геодезическая кривизна характеризует отклонение кривой от геодезической, также как обычная кривизна характеризует отклонение кривой от прямой – её касательной.

k=k_, =_g (=0, ¢=0, ¢=(k_k_g¢–k_gk_¢)/k).

Теорема. Для того, чтобы кривая была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы её главная нормаль в каждой точке совпадала с нормалью поверхности в этой точке.

Необходимость. Пусть кривая на поверхности геодезическая, т.е. k_g=k(b)=k((n)=0. Покажем, что ||n.

Для любой кривой на поверхности имеем

,n => =n, 0,

где , – орт касательной и главной нормали кривой, n – орт нормали поверхности. Учитывая это, для геодезической получим

k_g=0 => k(n)=0 => −(n)²=0, 0 => (n)=0 => ||n.

Другой, совсем простой способ заключается в непосредственном аналитическом доказательстве того, что для геодезической векторное произведение n равно нулю: n=()n=−[n()]=−[(n)−(n)]=0.

Достаточность очевидна из рассмотрения любого из предыдущих доказательств в обратной последовательности.

Примеры из механики и физики

1. Движение материальной точки по гладкой поверхности по инерции (только под действием нормальной реакции со стороны этой поверхности) происходит по геодезической этой поверхности. Действительно, так как на точку действует лишь нормальная реакция поверхности, то её ускорение тоже всюду будет направлено по нормали к поверхности и, следовательно, перпендикулярна касательной любой кривой на поверхности, проходящей через точку поверхности, в т.ч. и к траектории материальной точки, находящейся в данной точке поверхности. Следовательно, составляющая силы и ускорения на касательную к траектории отсутствует, поэтому точка будет иметь лишь нормальное ускорение, направленное по главной нормали траектории, в силу чего, главная нормаль траектории будет направлена по нормали к поверхности. А это есть достаточное (и необходимое) условие того, чтобы траектория точки была геодезической.

2. Гибкая туго натянутая нить, закрепленная в двух точках гладкой выпуклой поверхности, принимает форму геодезической. Если нить упругая (резиновая, например), то такая форма соответствует минимуму упругой потенциальной энергии нити, принужденной огибать данную поверхность.