Гармонизм (факультатив)
В [34, с. 125] отмечается:
«Гармонизмом называется особое расположение четырех точек на прямой или четырех прямых пучка (или вообще четырех элементов какой-нибудь формы первой ступени). Это расположение может быть охарактеризовано при помощи сложного отношения.
Четыре точки A, В, С, D, лежащие на одной прямой называются гармонически расположенными, если
(ABCD)=−1.
Это равенство показывает, что пара точек A и B (базисная пара) разделена парой С и D (делящая пара), AВСD:
(ABC)/(ABD)=−1, или (ABC)=−(ABD),
Последняя формула показывает, что точки С и D делят отрезок AВ внутренним и внешним образом в одинаковом отношении (черт. 105). Если из какой-нибудь точки S спроецируем гармоническую четверку точек A, В, С, D, то получим гармоническую четверку прямых a, b, с, d.
При этом
(abсd)=−1
С понятием о гармоническом расположении точек учащиеся встречаются еще в средней школе. Так, рассматривая биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине C треугольника AВС, замечаем, что они делят гармонически противоположную сторону АВ (черт. 106). Обозначая через М и N точки пересечения упомянутых биссектрис с прямой АВ, будем иметь:
AM/МВ=АС/ВС; AN/BN=AC/ВС.
Отсюда получаем:
AM/МВ=AN/BN, AM/BM=−AN/BN
или
(AMBN)/(BMAN)=(ABMN)=−1.
Т
аким
образом, точки A,
B,
М,
N
образуют гармоническую четверку. С
другой стороны, пара сторон и пара
биссектрис какого-либо угла (на
рис. 106
– угла АСВ)
также являются гармонической четверкой.
Черт. 106.
Отметим, что для середины М отрезка АВ четвертой гармонической является несобственная точка N. В самом деле, в этом случае имеем:
(АВМ)=−1 и (ABN)=+1.
То же самое можно видеть из треугольника AВС, если биссектриса СМ проходит через середину М противоположной стороны (черт. 107).
Так как
AM/MB=AC/BC=1,
то
АС=ВС.
Следовательно, в этом случае треугольник АСВ равнобедренный, одна из его биссектрис (СМ) перпендикулярна, а вторая (CN) параллельна противоположной стороне (АВ). Первая пересекает АВ в середине М, а вторая – в несобственной точке N.
2. Построение четвертой гармонической точки. Свойство биссектрис можно использовать для построения четвертой гармонической точки к трем данным. Пусть, например, даны точки A, B (базисные) и точка М (делящая) (черт. 108). Требуется построить точку N (делящую) так, чтобы
(ABMN)=−1.
Проведем произвольную окружность через точки А и В. Дугу окружности АВ делим пополам в точке D и проводим прямую
Черт. 107. Черт. 108.
DM. Отметим вторую точку С пересечения прямой DM с окружностью и построим прямую CN, перпендикулярную к СМ. Прямая CN пересекает АВ в искомой точке N. В этом легко убедиться из рассмотрения чертежа 108.
Другое построение четвертой гармонической точки основывается на применении подобных треугольников (черт. 109). Проводим через точки A и В пару параллельных прямых произвольного направления. Через точку М проводим произвольную секущую. Точки пересечения ее с двумя параллельными прямыми обозначим буквами Р и Р2 На прямой BP2 отложим отрезок BP1=BP2. Наконец, проведем прямую PP1, которая пересекает прямую АВ в искомой четвертой гармонической точке N.
В самом деле, из подобия треугольников APN и BP1N имеем:
AN/BN=АР/ВР1.
С другой стороны, из подобия треугольников АРМ и ВР2М получаем:
AM/MB=АР/Р2В.
Но вследствие равенства BP1=Р2В правые части этих равенств равны, следовательно, получаем:
AN/BN=AM/MB или (ABMN)=−1.
126
Заметим, что построение четвертой гармонической прямой d к трем данным прямым a, b и с пучка всегда может быть сведено к построению четвертой гармонической точки. Для этого достаточно пересечь пучок S какой-нибудь прямой s. Тогда задача сведется к построению четвертой гармонической точки D по трем точкам A, B, С пересечения прямых a, b, с с секущей прямой s». Конец цитаты.