Rybleva_teoria veroatnosti_2014

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

Г. В. РУБЛЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная информатика»

очной формы обучения

Тюмень

Тюменский государственный университет

2014

Введение

Вокружающем нас мире каждому явлению присущи определенные закономерности и в то же время каждое явление зависит от множества случайностей. Иногда влияние случая настолько существенно, что без его исследования и количественной оценки невозможно изучение данного явления.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. В теории вероятностей для изучаемого явления строится математическая модель, в которой описывается закон распределения исследуемой случайной величины, т.е. указывается, какие возможные значения может принимать случайная величина, с какими вероятностями, как вычислить ее основные числовые характеристики. В теории вероятностей мы не проводим сами эксперименты на практике, а лишь рассуждаем о них и получаем выводы о законе распределения априори.

Вматематической статистике, наоборот, - исходными являются экспериментальные данные, и требуется получить выводы о природе рассматриваемого явления. Математическую статистику можно охарактеризовать как науку принятия разумных решений в условиях неопределенности. Задачи математической статистики состоят в разработке методов сбора, систематизации и обработки статистических данных для удобного их представления, интерпретации и формирования научных и практических выводов.

3

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Случайные события 1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики

Под множеством понимается совокупность (набор, собрание) каких-либо элементов. Например, набор предметов в чайном сервизе, собрание книг на полке, совокупность натуральных чисел и т.д. Каждое множество А определяется принадлежащими ему элементами a,b,c,…. Например, множество A четных чисел на гранях игральной кости состоит из трех элементов: A ={2,4,6}.

Каждое множество, которому принадлежит ровно один элемент, называется элементарным. Например, множество решений

квадратного уравнения x 2 -6x 9 0 является элементарным множеством - {3}.

Множества A и B равны, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B и каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

Объединением множеств A и B называется множество AUB,

образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A∩B,

образованное всеми элементами, которые принадлежат каждому из множеств A и B.

Например, для множеств А={O, Δ, x, ◙}, В={z, ▼, ▲, Δ, x, O} и С={1, 5, 7} получаем: AUB={O, Δ, x, z, ▼, ▲, ◙} и A∩B={O, Δ, x},

Дополнение множества А до множества Ω обозначают A :

4

Рассмотрим произвольное множество Ω и его части А и В. Связь между объединением, пересечением и дополнением выражает:

Множество A B A B - A B называется суммой множеств

A и B.

Множество A·B A B называется произведением множеств А

и В.

Декартовым произведением множества А на множество В называется множество A B , образованное всеми упорядоченными парами, первые элементы которых принадлежат множеству А, а вторые

– множеству В.

Если множества А и В – различны, то A B ≠B A.

Раздел математики, в котором изучаются способы подсчета числа элементов различных конечных множеств, называется комбинаторикой. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские учѐные Б.Паскаль и П. Ферма.

Обозначим |A| - количество элементов множества А. Число элементов пустого множества равно нулю: |Ø|=0. Число элементов множества, образованного единственным элементом, равно единице: |A|=1. Важную роль в комбинаторике играют следующие правила:

Правило сложения: Для любых конечных непересекающихся множеств А и В число |A+B| элементов суммы А+В равно сумме чисел |A| и |B| элементов этих множеств: |A+B|=|A|+|B|.

5

Правило умножения: Для любых конечных множеств А и В число |A B| элементов декартова произведения А В равно произведению чисел |A| и |B| элементов этих множеств: |A B|=|A|·|B|.

На практике это означает, что если первый элемент а выбирается из n возможных, а второй элемент b - из k возможных, то число упорядоченных пар вида (a,b) равно произведению n·k.

Правило вычитания: Для каждой части А конечного множества В верно: |A-B|=|A|-|B|.

Правило объединения: Для любых конечных множеств А и В верно:

|A B|=|A|+|B|-|A B|.

Запишем правило объединения для трех множеств:

|A B C|=|A|+|B|+|C|-|A B|-|B C|-|A C|+|A B C|.

полученных множеств определить количество элементов.

Решение: а) B C Ø, число элементов пустого множества равно нулю:

|Ø|=0;

б)B C a,b,c,1,2,3, 4,5 A, |B C|=|B|+|C|-|B C|=3+5-0=8;

в) A B 1,2,3, 4,5 C, |A-B|=|A|-|B|=8-3=5;

6

В таблице в скобках перечислены элементы множества С D - упорядоченные пары, первые элементы которых являются элементами множества C, а вторые – элементами множества D. По правилу произведения количество элементов полученного множества равно |C D|=|C|·|D|=5·3=15;

Число элементов в полученном множестве равно |B2 |=3·3=9.

■

Пример 1.2 На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.

Решение: Для того чтобы подняться на гору у туриста имеется 5 вариантов, для спуска с горы – тоже 5 способов. Следовательно, по правилу произведения получаем: 5·5=25.

Если же подъем и спуск должны проходить по разным путям, то для спуска будет 4 варианта (один вариант уже использован при подъеме):

5·4=20.

■

Пример 1.3 На экзамене по математике было предложено 3 задачи: по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 100 абитуриентов задачу по алгебре решили 80 человек, по геометрии – 70, по тригонометрии – 60. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 60 абитуриентов; по алгебре и тригонометрии – 50; по геометрии и тригонометрии – 40; 30

7

человек решили все задачи. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?

Решение: Обозначим: Ω – множество всех абитуриентов; A – множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре; T – абитуриентов, решивших задачу по тригонометрии; Г – тех, кто решил задачу по геометрии Их количество определяется по правилу объединения для трех

множеств: |A T Г|=|A|+|Т|+|Г|-|A Т|-|Т Г|-|A Г|+|A Т Г|= =80+60+70-50-60-40+30=90.

Ω - А Т Г - множество абитуриентов, не решивших ни одной задачи. По правилу вычитания их количество равно:

|Ω-(А Т Г )|=|Ω|-|А Т Г|=100-90=10.

■

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок: сколькими способами можно переставить n различных предметов, расположенных на n различных местах?

Пример 1.4 Сколькими способами можно разместить трех гостей, сидящих соответственно на трех местах 1, 2, 3?

Решение: Перечислим варианты размещения гостей, обозначая в верхней строке номер места, а в нижней строке – соответствующего

Всего, таким образом, получается 2·3=6 способов.

■

Перестановками из n элементов называют всевозможные n –

расстановки, каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу и которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов.

Число n – перестановок обозначают через Pn . Чтобы узнать,

сколько перестановок можно составить из n элементов, надо

8

перемножить все натуральные числа от 1 до n. Это произведение обозначают n! (читается n-факториал):

Pn = 1·2·3·...· n n!

В частности, если n=0, то полагают 0!=1.

Пример 1.5 Сколькими способами можно рассадить 5 человек вокруг круглого стола? (Способы считаются различными, если различается взаимное расположение людей).

Решение: Если бы эти 5 человек стояли в ряд, то получилось бы 5!=120 способов. Но так как стол круглый, то важно их взаимное расположение. Поэтому мы должны исключить варианты, полученные путем вращения, значит, 120 надо разделить на 5. Таким образом, получается 120:5=24 способа.

■

Пусть конечное множество А содержит n элементов. Часть В множества А, составленную из m элементов, будем называть

выборкой (без возвращения) m из n элементов множества А. Число всех таких выборок определяется числами m, n и обозначается символом Cnm . Вместо слова выборка говорят также сочетание: m-

сочетаниями из n элементов называют всевозможные m-

расстановки, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число таких сочетаний вычисляется по формуле:

Числа Cnm обладают следующими свойствами:

1)Cnm Cnn-m ;

2)Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n ;

3)для любого m, удовлетворяющего условию 1≤m≤n, справедливо

равенство: Cnm Cnm-1 Cnm-1-1.

9

Числа Cn0 ,Cn1 ,…,Cnn-1,Cnn называют также биномиальными

коэффициентами.

4) Cnn Cnn 1 Cnn 2 ... Cnn m-1 Cnn m1 .

Пример 1.6 В коробке 7 шариков разного цвета. Сколькими способами можно выбрать 3 шарика?

Решение: Выбор 3 шариков из коробки – это выборка без возвращения из совокупности 7 шариков. Число всех таких выборок – это число 3 - сочетаний из 7 элементов:

■

Пример 1.7 Сколько существует вариантов опроса 20 студентов на одном занятии, если каждого из них спрашивают только по одному разу и на занятии может быть опрошено любое количество студентов, причем порядок опроса безразличен?

Решение: Преподаватель может не спросить ни одного из 20 студентов,

что является одним из вариантов. Этому случаю соответствует C200 .

Преподаватель может опросить только одного из студентов, таких

вариантов С201 . Если преподаватель будет опрашивать двух студентов,

то число вариантов опроса равно С202 . Для опроса трех студентов существует С203 и т.д. Наконец, могут быть опрошены все студенты.

Число вариантов в этом случае равно С2020. Тогда по правилу сложения

С200 С201 С202 ... С2020 220.

Можно было бы рассуждать иначе: для каждого из студентов существует две возможности – либо он будет опрошен на данном

10