Rybleva_teoria veroatnosti_2014

Например, p22 P X 2 P Y 1 ?

Для определения тесноты связи между случайными величинами X и Y вычислим коэффициент корреляции. По исходной таблице найдѐм cov X , Y M X Y M X M Y .

M X Y 1 1 0,12 2 1 0,12 3 1 0,08 1 1 0,28 2 1 0.13

3 1 0,27 0,12 0,24 0,24 0,28 0,26 0,81 0,75 .

Так как коэффициент взаимосвязи близок к нулю, то зависимость между рассматриваемыми случайными величинами слабая.

■

Задачи для самостоятельного решения:

5.1 Распределение вероятностей дискретной случайной двумерной величины X , Y задано таблицей:

131

Y a X b , то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.

Ответы:

5.1 а) b =0,1; б) P(X=-1)=0,2; P(X=0)=0,35; P(X=1)=0,45; P(Y=1)=0,8; P(Y=2)=0,2; в) P(Y=1/X=0)=6/ 7; P(Y=2/X=0)=1/ 7; г) P(X= -1/Y=1)=3/16; P(X=0/Y=1)=6/16; P(X=1/Y=1)=7/16;

д) M(X)=0,25; σ(X)≈0,766; M(Y)=1,2; σ(Y)=0,4; е) M(X/Y=1)=1/ 4.

132

2.6. Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности, т.е. совокупное действие большого числа случайных факторов почти не зависит от случая.

В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Неравенство Маркова. Если случайная величина X принимает только положительные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа ε верно неравенство:

противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой

133

Относительная частота m/n события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, и имеющей дисперсию pq/n , удовлетворяет

Теоретическую основу законов больших чисел составляет понятие сходимости случайных величин по вероятности.

Последовательность случайных величин X1 , X 2 , …, X n , …

сходится по вероятности к случайной величине X , если для любого

P

Коротко это записывается так: X n X .

n

Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых случайных величин X1 , X 2 , …, X n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая

M X , т.е. практически перестает быть случайной.

Интуитивно мы отождествляем вероятность появления случайного события с относительной частотой этого события (статистической вероятностью),полученной в n повторных независимых испытаниях,

134

проводимых при одном и том же комплексе условий. Теоретическим обоснованием этого является следующая теорема.

Теорема Бернулли. Относительная частота события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном

Теорема Бернулли может рассматриваться как следствие теоремы Чебышева (относительная частота – это средняя арифметическая n независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения), но исторически эта теорема была доказана намного раньше теоремы Чебышева. Если вероятности события в каждом испытании различны, то применяют следующую теорему:

Теорема Пуассона. Относительная частота события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями p1 , p2 , …, pn , при неограниченном увеличении числа n

сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей

Перечисленные теоремы (закон больших чисел) устанавливают факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Однако, закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин, этим не ограничиваются. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному закону распределения – к нормальному закону.

135

Теорема Ляпунова. Если X1 , X 2 , …, X n - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание

распределения суммы Yn X1 X2 ... X n при n неограниченно

Теорема Ляпунова имеет большое практическое применение. Опытным путем было установлено, что распределение суммы независимых случайных величин, у которых дисперсии не отличаются резко друг от друга, довольно быстро приближаются к нормальному. Уже при числе слагаемых, большем 10, распределение суммы можно заменить нормальным. Отметим, что теорема Ляпунова справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция распределения центрированной и нормированной биномиальной случайной величины при n стремится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

Это означает, что если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события в n независимых испытаниях

136

Пример 6.1 Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 5 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад менее 10 тыс. руб., равна 0,6. Оцените количество вкладчиков.

Решение: Обозначим через X – размер случайно взятого вклада, а через n – число всех вкладов. Тогда средний размер вклада равен:

вероятность того, что случайно взятый вклад менее указанной суммы,

число вкладчиков не более 1250.

■

Пример 6.2 Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а стандартное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оцените вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день будет менее 2000 л, используя: а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева.

Решение: а) Обозначим через X – расход воды на животноводческой ферме (л). Тогда средний расход воды – это M X 1000 . Используя

неравенство Маркова, получим: P X 2000 1- 10002000 0,5 .

б) Теперь найдем оценку этой вероятности, используя неравенство

137

Чебышева:P X - M X ε 1- D X . В данном случае дисперсия, по

ε2

условию, ограничена D X σ2 2002 . Так как границы интервала

0 X 2000 симметричны относительно математического ожидания, то вероятность:

P X 2000 P 0 X 2000 P X - 1000 1000 1- 200 2 0,96 .

1000 2

Более точной является оценка вероятности, полученная с помощью неравенства Чебышева.

■

Пример 6.3 Станок-автомат изготавливает детали. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,96. Оцените вероятность того, что из 2000 деталей число бракованных будет находиться в пределах от 60 до 100: а) с помощью неравенства Чебышева; б) с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Решение: а) Вероятность изготовления бракованной детали равна p 1 - 0,96 0,04 . Случайная величина X – число бракованных деталей имеет биномиальный закон распределения, а ее границы 60 и 100 симметричны относительно математического ожидания M X np 80 .

Следовательно, для оценки вероятности можно воспользоваться

Таким образом, оценка вероятности искомого события:

Оценка вероятности этого же события по интегральной теореме Муавра-Лапласа:

138

Пример 6.5 Сколько надо произвести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если стандартное отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

измерений.

■

Пример 6.6 В страховой компании 10000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Решение: Прибыль страховой компании (доход минус затраты) составит:

случаев.

Переформулируем условие задачи: производится n=10000 независимых испытаний, вероятность появления интересующего нас события в каждом испытании одинакова и равна p=0,005, q=0,995. Следовательно, мы находимся в рамках модели повторных независимых испытаний. Так как n – достаточно велико, а p –

140