Rybleva_teoria veroatnosti_2014

значений признака в i -ый интервал. Сумма всех частот должна

3.Для каждого интервала подсчитываются ожидаемые частоты

npi (если для каких-либо интервалов npi 5 , то их объединяют с соседними так, чтобы в итоге для каждого интервала ожидаемая частота была больше 5). Полученное таким образом число

Случай 2. Основная гипотеза H0 : выборка извлечена из совокупности,

имеющей распределение F x, θ с некоторыми заранее не известными

будут не числами, а некоторыми функциями неизвестных параметров.

Оценками этих параметров заменяют неизвестные параметры в функции распределения. Далее действуют по описанной выше схеме с той лишь разницей, что число степеней свободы будет равно k * r 1.

181

2.5.2.Непараметрические критерии

Критерий Колмогорова. Для проверки гипотезы о законе распределения используется эмпирическая функция распределения

F* x . Основная гипотеза H0 : F* x F x , где F x - теоретическая

функция распределения. Случайная величина D max F x F* x

x

стремится к нулю при достаточно большом объеме выборки. На практике эту случайную величину удобно рассчитывать по формуле:

где x1, x2 , ..., xn - ранжированная последовательность членов выборки.

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1.строится эмпирическая функция распределения F* x по

вариационному ряду распределения исследуемого признака и предполагаемая теоретическая функция распределения F x ;

2.определяется мера Dn расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением, а затем вычисляется величина

λDn n ;

3.если выполняется неравенство λ λкр , то нулевая гипотеза о том,

что признак X имеет заданный закон распределения – отклоняется.

Втаблице ниже приводятся критические значения λкр для некоторых α .

182

Критерий ω2 . Для проверки гипотезы о законе распределения используется оценка плотности распределения ˆp x . Основная гипотеза

H0 : ˆp x p x , где p x - плотность заданного закона распределения.

при достаточно большом объеме выборки. На практике эту случайную величину удобно рассчитывать по формуле:

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1.строится эмпирическая функция распределения F* x по вариационному ряду распределения исследуемого признака;

2.определяется величина W nωn2;

183

2.5.3.Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону распределения

Проверка соответствия распределения случайной признака X нормальному закону распределения может быть произведена приближенно с помощью исследования показателей асимметрии As и

эксцесса E x . При нормальном распределении показатели асимметрии

As и эксцесса E x некоторой генеральной совокупности равны нулю.

Предположим, что наблюдаемые значения признака X представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

характеристика эксцесса, σ As и σEx - соответствующие средние

квадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

то нет оснований для отклонения основной гипотезы о нормальном характере распределения случайного признака X .

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

184

распределении отклоняется.

Границы критического значения статистики при уровне значимости α =0,05 приводятся ниже в таблице.

2.6. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки

Основное требование при проведении выборочного исследования – это случайность попадания элементов генеральной совокупности в выборку. Поэтому перед тем как приступить к статистической обработке результатов наблюдений, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную последовательность. Рассмотрим критерии для проверки случайности и независимости элементов выборки.

Критерий серий, основанный на медиане. Этот критерий является ранговым критерием. Пусть имеются выборочные результаты наблюдений: x1, x2 , ..., xn из некоторой генеральной совокупности.

185

Основная гипотеза H0 : элементы выборки являются стохастически независимыми. Альтернативная гипотеза H1: элементы выборки не являются стохастически независимыми. Далее необходимо составить вариационный ряд из элементов выборки и найти оценку медианы

исходной выборке под каждым наблюдаемым значением признака xi

столбец, то рядом с ним формируется столбец из знаков). Последовательность подряд идущих одинаковых знаков называется

основную гипотезу. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми. Здесь zкр находится по таблице Приложения 2 как квантиль уровня 1 α / 2 (при α 0,05 zкр 1,96).

Замечание*). Критерий серий, основанный на медиане, улавливает только монотонное изменение среднего.

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. Как и предыдущий, этот критерий является ранговым. Пусть из некоторой генеральной совокупности извлечена выборка, x1, x2 , ..., xn -

результаты наблюдений Основная гипотеза H0 : элементы выборки

186

являются стохастически независимыми. Альтернативная гипотеза H1:

элементы выборки не являются стохастически независимыми. В

исходной выборке под каждым наблюдаемым значением признака xi

ставится знак «+», если xi xi 1 и знак «-», если xi xi 1. В случае равенства xi xi 1 знак не ставится (если исходные данные записаны в столбец, то рядом с ним формируется столбец из знаков). Затем подсчитывается количество серий ν и протяжѐнность самой длинной серии Kmax . Если выполнены оба неравенства:

то при заданном уровне значимости α нет оснований отклонить основную гипотезу. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми. Здесь zкр находится по таблице

Замечание**). Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий улавливает смещение оценки математического ожидания монотонного и периодического характера и является более мощным, по сравнению с критерием серий, основанном на медиане.

Критерий стохастической независимости Аббе (критерий квадратов последовательных разностей). Данный критерий

187

применяется в тех случаях, когда изучаемый признак имеет нормальное

Замечание***). Критерий Аббе позволяет обнаружить систематическое смещение среднего в ходе выборочного обследования.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Расход сырья на изготовление одного изделия случаен. Сравниваются две технологии производства: старая и новая.

Выборочные характеристики соответственно равны: x 307,11 и s12

2,378; y 304,77 и s22 1,685. Предполагая, что расход сырья имеет

188

нормальное распределение, выясните, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие ( α 0,05).

2.2 Проведено исследование розничного товарооборота продовольственных магазинов в двух районах области (по 50 магазинов в каждом). Априори известны средние значения товарооборота – 78,9 и 78,68 тыс. руб. Полученные в результате оценки среднеквадратичных отклонений в первом и втором районах области соответственно равны 7,22 и 7,79 тыс. руб. Можно ли считать, что разброс розничного товарооборота магазинов в районах неодинаков при уровне значимости 0,05? Можно ли сделать вывод о разной покупательной способности населения районов?

2.3. Исследование пропусков по болезни детей в двух группах детского сада в течение года (по 16 детей в каждой группе) дало следующие

α 0,1 можно ли считать, что среднее количество дней пропусков по болезни в обеих группах одинаковым?

2.4. Данные о производительности выпуска стиральных машин на двух предприятиях представлены в таблице:

Можно ли считать распределение производительности на обоих предприятиях считать различным при α 0,05?

2.5. Для определения качества технологической операции регулярно осуществляются проверки, которые состоят в измерении одного параметра изделия, прошедшего данную операцию. Имеются данные за два дня:

189

Необходимо оценить стабильность контролируемой операции (проверив однородность выборок) при уровне значимости α 0,05.

2.6 Группа из 36 человек была разбита на 18 однородных пар на основе отметок, полученных ими при проверке степени уверенности в себе. Затем одна группа (экспериментальная) прошла курс подготовки одновременно с выработкой навыков уверенного поведения, в то время как другая группа (контрольная) прошла этот курс в том же объѐме, но приобретение подобных навыков не предусматривалось. Впоследствии обе группы прошли испытание в условиях нескольких искусственно созданных ситуаций, причем оценивавшие их эксперты не были осведомлены о том, кто получил экспериментальную подготовку. По результатам эксперимента проверьте гипотезу о наличии различий между группами при уровне значимости α 0,05.

190