Rybleva_teoria veroatnosti_2014

Глава 3. Оценивание тесноты взаимосвязи между признаками

3.1. Непараметрические методы оценки взаимозависимости признаков

Непараметрические показатели связи применимы для измерения сопряженности между варьирующими признаками независимо от их закона распределения. Кроме того, они позволяют измерять тесноту связи между признаками, значения которых можно ранжировать.

коэффициент Фехнера используется для оценки зависимости между двумя количественными признаками. Для каждого признака по выборочным данным вычисляется средняя величина, а затем определяется знак отклонения текущего значения от его среднего значения. Подсчитывается число соответствий знаков у признаков c и

число несоответствий знаков н. Далее вычисляется коэффициент

Фехнера по формуле: КФ с н .

с н

Связь считается достаточно тесной, если KФ 0,3.

Для измерения связей между признаками, значение которых можно упорядочить (ранжировать) по степени проявления ими анализируемых свойств, применяются коэффициенты ранговой корреляции. Рангом называется номер места значения признака в упорядоченном ряду, если все значения признака – различны. Если же какие-либо значения признака встречаются неоднократно, то ранг вычисляется как среднее арифметическое этих номеров мест.

коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

n

6 di2

i 1

rC 1 n n2 1 ,

191

где n - объем выборки, di - разность между рангами анализируемых признаков.

Пример 1.1. Требуется определить наличие или отсутствие взаимосвязи между накладными расходами по реализации продукции и обеспеченностью товарной продукцией.

Результаты выборочной проверки предприятий отрасли представлены в следующей таблице:

Решение: Обозначим через X - обеспеченность товарной продукцией, Y - накладные расходы по реализации. Вычислим коэффициент Фехнера. Для этого вычислим сначала средние значения по каждому признаку: x 21,07 и y 882,4. Далее в отдельном столбце находим знаки разностей xi x , в другом столбце – знаки разностей yi y . В

следующем столбце определяются совпадения или несовпадения знаков. В итоге получаем: н 3. Таким образом, значение коэффициента Фехнера: КФ 0,4.

Так как значения данных количественных признаков можно упорядочить, то для определения тесноты связи можно использовать

192

также коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Составим расчѐтную таблицу.

В таблице RX и RY - ранги соответствующих значений признака X

и Y . Под последним столбцом записана сумма квадратов рангов.

Итак, rC 0,694. Значения выборочных коэффициентов Фехнера и ранговой корреляции Спирмена свидетельствует о достаточно тесной зависимости величины накладных расходов по реализации продукции от обеспеченности товарной продукцией в выборочной совокупности.

■

коэффициент ранговой корреляции Кендала. Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1)значения факторного признака X ранжируются;

2)значения результативного признака Y располагаются в порядке, соответствующем значениям X ;

3)для каждого ранга результативного признака определяется количество следующих за ним значений рангов, превышающих его

193

величину. Суммарная величина P является мерой соответствия последовательности рангов по X и Y ;

4)для каждого ранга Y определяется количество следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через

Q ;

5)вычисляем SK P Q , при этом P Q n n 1 / 2;

6)вычисляем коэффициент корреляции Кендала по формуле:

rК 2 SK . n n 1

Как правило, коэффициент Кендала меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме выборочной совокупности n

значения коэффициентов связаны соотношением: rK 23 rC .

Пример 1.2. По данным группы предприятий требуется оценить

Решение: Для вычисления коэффициента составим расчетную таблицу.

194

значение коэффициента свидетельствует о наличии слабой связи между рассматриваемыми роизнаками.

■

Коэффициент конкордации рангов Кендала используют тогда, когда

195

необходимо установить статистическую связь между несколькими признаками, значения которых можно ранжировать. С помощью этого коэффициента принято оценивать согласованность мнений группы экспертов.

Пример 1.3. Определить тесноту взаимосвязи между признаками, значения которых представлены в таблице.

Решение: Проранжируем оценки экспертов для каждого претендента, промежуточные и итоговые расчеты оформим в таблице.

Тогда значение коэффициента конкордации Кендала равно: rW 0,9407.

Полученное значение свидетельствует о высокой степени согласованности мнений экспертов.

196

■

Задачи для самостоятельного решения

1.1 Определите силу взаимосвязи между признаками X и Y с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена ( α =0,05):

1.2 По данным итогов торгов (см. таблицу) на биржевом рынке с 06.03.9*

— 12.03.9* определите степень зависимости средней цены сделки от номинальной стоимости акции с помощью коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендала (α =0,05):

197

1.3 По следующим данным (см. таблицу) о прибыли (Y ,млн. руб.), затратах на 1 рубль произведенной продукции ( X , руб.), стоимости основных производственных фондов ( Z , млн. руб.) определите тесноту связи между признаками (α =0,05):

3.2. Параметрические методы оценки взаимосвязи

коэффициент ассоциации Юла применяется для оценки тесноты взаимосвязи между двумя качественными признаками, каждый из которых принимает только два возможных значения. Для его расчѐта составляется таблица «тетрахорических показателей»:

значений признаков. Коэффициент ассоциации вычисляется по формуле:

Kac. ad bc . ad bc

198

Связь считается достаточно тесной, если Kac. 0,5. Однако, если одна из частот a , b, c или d равна нулю, то Kac. 1, что может не

соответствовать действительности. В таких случаях тесноту взаимосвязи оценивают с помощью следующего коэффициента.

коэффициент контингенции Пирсона:

Для качественных признаков, состоящих более чем из двух групп, тесноту взаимосвязи определяют с помощью коэффициентов взаимной сопряженности:

коэффициент взаимной сопряженности Пирсона:

nxy , nx , ny - частоты совместного появления значений признаков и

каждого в отдельности;

коэффициент взаимной сопряженности Чупрова:

где k1 и k2 - число значений (групп) соответственно у первого и второго признаков.

199

Задачи для самостоятельного решения

2.1 По следующим данным о распределении строительных фирм по уровню рентабельности R (в %) и удельному весу активной части основных фондов d (в %) рассчитайте коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова:

2.2 По данным о распределении числа погибших и раненых в зависимости от причины наезда рассчитайте показатели взаимосвязи:

2.3 Вычислите коэффициент взаимной сопряженности Чупрова по распределению некоторых преступлений в регионе и их раскрываемости

взаимосвязи.

200