Rybleva_teoria veroatnosti_2014

занятии, либо нет. Другими словами, каждую из 20 операций, заключающихся в том, что каждый студент будет либо опрошен, либо нет, можно выполнить по правилу умножения 2· 2· ...· 2 220 способами.

■

Пример 1.8 В ящике 6 белых, 4 красных и 8 зеленых шаров. Сколькими способами можно извлечь из ящика 6 шаров, из которых 2 белых, 2 красных и 2 зеленых?

Решение: Разобьем перебор на три этапа: на первом выбираем 2 белых шара, на втором – 2 красных шара, на третьем – 2 зеленых. Всего шариков 18 штук. Выбрать 2 белых шара – значит выбрать 2- элементное подмножество из множества 6-ти шаров, т.е. сочетание из 6 по 2. Количество способов сделать это равно:

■

Классической задачей комбинаторики является также задача о числе размещений: сколько существует способов, чтобы выбрать m из n различных элементов и разместить их по m различным местам?

Число размещений m элементов из n обозначается Anm . Так как сначала мы выбираем m из n элементов, а затем упорядочиваем их, то для определения числа размещений надо перемножить число

Пример 1.9 Сколькими способами можно выбрать 2 человек из 4 и разместить их по 2 местам?

Решение: Число способов выбрать 2 элемента из 4 – это число выборок объемом 2 из совокупности, содержащей 4 элемента: С42 ; число

11

способов упорядочить их – это число размещений P2 ; следовательно,

по правилу произведения получаем:

■

Если из конечного множества A, содержащего n элементов, m раз выбирать по одному элементу, каждый раз возвращая его обратно, то получим множество из m элементов, которое называют выборкой с повторениями или размещением с повторениями.

Число всех размещений с повторениями из n элементов по m зависит, очевидно, только от n и m (а не от природы множества A).

__

Обозначим это число Anm . Из правила произведения следует, что это

m раз

Пример 1.10 Сколькими способами k пассажиров могут распределиться по n вагонам, если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им в вагоне место?

Решение: Перенумеруем всех пассажиров (т.е. условимся, кого из них мы считаем первым, кого вторым и т.д.). Пусть x1 - номер вагона,

выбранного первым пассажиром, x2 - номер вагона второго пассажира и т.д. Строка x1, x2,...,xk полностью характеризует распределение

распределений по вагонам будет столько, сколько строк длиной k можно составить из элементов множества X 1, 2, ..., n . Следовательно, их

__

будет Ank nk .

■

12

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент - n2 раз, k-й элемент - nk раз, причем n1 n2 ... nk n , то такие перестановки называют перестановками с повторениями из n

элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно:

Пример 1.11 Даны n различных предметов и k ящиков. Надо положить в первый ящик n1 предметов, во второй - n2 предметов, …, в k-й - nk

предметов, где n1 n2 ... nk n . Сколькими способами можно сделать такое распределение?

Решение: Условие задачи можно переформулировать следующим образом: имеются элементы k различных типов; сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, n2 эле-

ментов второго типа, … , nk элементов k-го типа?

Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n !. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставить друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов второго типа, …, nk !

перестановок элементов k-го типа.

Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу умножения) элементы можно переставлять друг с другом n1!n2!...nk ! способами так,

что она останется неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых

13

перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно:

■

Пусть множество A содержит n·m элементов, среди которых по m одинаковых элементов каждого из n различных типов. Число способов выбрать m элементов из множества A называется выборкой с повторениями (или сочетаниями с повторениями) и вычисляется по формуле:

Пример 1.12 «Индейское гадание»: имеется 12 лоскутков разного цвета (синий, красный, белый, жѐлтый, зелѐный и чѐрный – по 2 штуки каждого). Девушка, желающая узнать свою судьбу, наудачу извлекает 2 лоскутка. В зависимости от сочетания цветов в полученной паре индейская гадалка даѐт различные предсказания. Сколько существует способов извлечь 2 лоскутка (т.е. сколько существует различных цветовых сочетаний)?

Решение: В данном случае количество различных типов предметов (количество цветовых окрасок у лоскутков) равно n=6, число одинаковых предметов (число лоскутков одного цвета): m=2. Число различных цветовых сочетаний для двух наудачу выбранных лоскутков – это число выборок с повторениями:

14

выбранное число), которая возвращает количество комбинаций для заданного числа объектов. Аргументами данной функции являются: число – n (объем совокупности), выбранное число – m (объем выборки).

Для определения количества перестановок Pn n! используют математическую функцию EXCEL – ФАКТР(число), которая возвращает факториал числа, равный 1·2·...·число.

равенство Anm Pm ·Cnm , где сомножители вычисляются с помощью соответствующих функций EXCEL.

__

Число размещений с повторениями Anm nm можно

вычислить с помощью математической функции СТЕПЕНЬ(число, степень числа), которая возвращает результат возведения в степень.

отдельно с помощью математической функции ФАКТР(число).

Задачи для самостоятельного решения:

1.1Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: а)

__ __

1.2Найти а) A53 ; б) C74 ; в) P8 ; г) A53 ; д) C52 .

15

1.4Занятия по аэробике посещают 20 человек, в бассейн ходит 10 человек. Сколько человек посещают занятия по аэробике или по плаванию, если: а) эти занятия проходят в одно и то же время; б) занятия проходят в различное время и 8 человек посещают и бассейн и занятия по аэробике?

1.5В спортивном магазине за месяц было продано 1000 пар лыж, 500 пар ботинок и 500 пар палок. При этом 400 пар лыж было куплено вместе с ботинками, 300 пар лыж – вместе с палками, 200 пар ботинок – вместе с палками, а 100 пар лыж – вместе с ботинками и палками. Сколько было покупателей (тех, кто сделал покупки)?

1.6Сколькими способами можно переставить буквы в слове:

а) «учебник»; б)* «математика»?

1.7Сколько существует вариантов выбора четырех букв из слова

«учебник»?

1.8Имеется 7 карточек, на которых написаны цифры: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9. Сколько из них можно составить трехзначных чисел?

1.9Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 6 карт так, чтобы среди них были 2 туза, дама, валет и 2 шестерки?

1.10На предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 – для женщин и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать место работы трое мужчин и две женщины?

1.11Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С – пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Сколькими способами можно выбрать дорогу от пункта А до пункта С через В?

1.12Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора пишут по две главы, два других – по 3 и еще один – 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?

16

1.13Каждого из 6 студентов можно направить для прохождения практики на одно из трѐх предприятий. Сколькими различными способами это можно осуществить?

1.14Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2 и 9, в которых цифра 1 повторяется 1 раз, а цифры 2 и 9 – по 2 раза?

1.15Сколько всего существует возможных результатов опыта с подбрасываниями: а) 10 раз монеты; б) 3 раза «кости»?

Ответы:

1.1 а) прямоугольник; б) квадрат; в) куб. 1.2 а) 60; б) 35; в) 40320; г)

125; д) 15. 1.4 а) 30; б) 22. 1.5 1200. 1.6 а) 5040; б) 151200; 1.7 35.

1.2. Действия над событиями

Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие. В теории вероятностей таковыми являются:

Опыт – действие, результат которого заранее неизвестен. Предполагается, что опыт можно неограниченное число раз повторять. Например, результат бросания монеты или игральной кости.

Эксперимент – один или несколько опытов. Например, бросание монеты 3 раза или стрельба по мишени 5 раз.

Исход – возможный результат опыта. Исход называется элементарным, если его нельзя разложить на более простые исходы. Например, при бросании монеты элементарными исходами будут: решка или герб.

Событие – один или несколько исходов эксперимента. События бывают:

невозможные – те, которые не могут произойти в результате данного опыта;

17

достоверные – обязательно наступающие в результате данного испытания;

случайные – происходящие или не происходящие в результате данного опыта.

Например, бросается монета один раз. В этом опыте нам неважно, какая монета: медная или серебряная, 5 рублей или 10 рублей, а важно лишь, что это диск, изготовленный из однородного материала, симметричный, у которого две стороны отличаются друг от друга. Заранее предугадать, как именно упадет монета, мы не можем. «Монета упала гербом вверх», «монета упала решкой вверх» - случайные события; «монета упала, полежала, а потом подпрыгнула» или «монета зависла в воздухе» - такие события невозможны; «монета выпала вверх гербом или решкой» - событие достоверное.

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. Например, при стрельбе по мишени события «попадание» и «непопадание» - несовместны.

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появления другого. Например, при подбрасывании игральной кости события «на верхней грани выпала 3» и «на верхней грани выпало нечетное число очков» - совместные события.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Несколько событий называются единственно возможными, когда в результате эксперимента должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными результатами

18

эксперимента. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Два несовместных события, из которых одно обязательно должно произойти, называются противоположными. Случайное событие,

__

противоположное к A, обозначается A .

Результат действия над случайными событиями – это тоже случайное событие.

Пусть с некоторым опытом связаны события A и B. Их суммой называется третье событие A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если A и B – совместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе. Если A и B – несовместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A, или события B.

Произведением событий A и B называется третье событие AB, состоящее в совместном наступлении этих событий.

Если A и B – совместные события, то их произведение AB означает наступление и события A, и события B. Если A и B – несовместные события, то их произведение является невозможным событием.

Формирование навыков работы со случайными событиями является необходимым условием для дальнейшего успешного решения задач по теории вероятностей, так как решение любой задачи на вычисление вероятности случайного события начинается с ответа на вопрос: «Что считать элементарным исходом в данном эксперименте, и как исследуемое событие может быть представлено с помощью элементарных исходов?»

19

Пример 2.1 Двое рабочих сделали по детали. Обозначим: 1 – событие,

_

состоящее в том, что первый рабочий изготовил годную деталь; 1 -

_

бракованную деталь; 2 – второй рабочий изготовил годную деталь; 2 - бракованную деталь. Используя принятые обозначения, запишите с их помощью следующие события:

А – обе детали годные; В – обе детали дефектные; С – ровно одна деталь бракованная; Е – годная только вторая деталь; D – хотя бы одна деталь дефектна.

(обозначается также A\B),которое состоится, если событие A произойдет, а событие B не произойдет.

Пример 2.2 Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Пусть событие А означает, что выбранное число кратно 5; событие В – данное число оканчивается нулем.

_

Что означают события: а) A-B; б) А·B?

Решение: а) Число кратно 5, если оно оканчивается цифрами 5 или 0. В данном случае событие В влечет событие А ( B A), следовательно, событие А-В означает, что выбранное случайным образом число оканчивается цифрой 5, но при этом не заканчивается нулем.

20