Rybleva_teoria veroatnosti_2014

б) Событие B означает, что выбранное число не оканчивается нулем.

Так как B A, то B A - B , следовательно, A B A A - B A - B .

■

Пример 2.3 При каких событиях A и B возможно равенство:

а) A B A; б) A·B A ?

Решение: а) Сумма A B представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Если A B A, то событие B влечет событие A (B A).

б) Произведение событий A и B означает наступление обоих событий одновременно и, по условию, это есть событие A. Значит, событие A влечет событие B ( A B ).

■

Пример 2.4 Пусть А – событие, состоящее в том, что студент владеет английским языком, F – французским, I – итальянским. Что означают события: A , AFI , AF , A I ?

Решение: A - студент не знает английского языка; AFI - студент владеет тремя языками; AF - студент знает английский, но не владеет французским языком; A I - владеет, по крайней мере, одним из двух языков.

■

Пример 2.5 Пусть Ai означает, что в серии из 5-ти бросков монеты на i-

м броске выпал орѐл. Запишите следующие события: а) орѐл не выпал ни разу; б) орѐл выпал ровно один раз;

в) орѐл выпал не менее одного раза;

Решение: Событие Ai означает, что орѐл при i-м броске не выпал.

а) A1·A2·A3·A4·A5 - орѐл не выпал ни разу; б) орѐл выпал ровно один раз:

21

A1A2A3A4 A5 A1A2A3A4 A5 A1A2A3A4 A5 A1A2A3A4 A5 A1A2A3A4 A5

НЕСОВМ ЕСТН ЫЕ СОБЫТИЯ

в) орѐл выпал не менее одного раза: Ω A1A2A3A4A5 ;

_

противоположное событие A является несовместным с исходным, т.е. одновременно с ним наблюдаться не может. Поэтому б) – верно. Справедливость тождества в) также следует из определения противоположных событий. Что касается тождества г), то оно не верно: левая часть описывает не все исходы эксперимента – сюда надо еще

тождество.

■

Задачи для самостоятельного решения:

2.1Что означают события: а) A A ; б) A·A ?

2.2Эксперимент состоит в проверке трѐх приборов. Событие A – «хотя бы один из проверяемых приборов бракованный», событие B – «брака нет». Что означают события: а) A B ; б) A·B ?

2.3Монета бросается четыре раза. Обозначим Ai - событие,

состоящее в том, что «герб» появился I раз. Что означают события:

22

а) A0 A1 A2 ; б) A1 A2 A3 A4 ?

2.4 Бросается игральный кубик. Обозначим Ai - событие, состоящее в том, что выпало на верхней грани I очков. Выразите через Ai

следующие события: B – «число выпавших очков меньше 4»; C – «число выпавших очков больше 2»; D – «число выпавших очков чѐтно».

2.5Два шахматиста играют одну партию. Событие А – «выиграет первый игрок», событие В – «выиграет второй игрок». Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.6Банк выдал три кредита по 1 млн. руб. Обозначим Ai - событие,

состоящее в том, что i-й заѐмщик своевременно вернѐт кредит. Выразите через Ai следующие события: B – «все вернут кредиты вовре-мя»,

C – «вернут хоть что-нибудь», D – «вернут не менее 2 млн. руб.»

2.7 Пять человек надевают шляпы. Обозначим Ai - событие,

состоящее в том, что i-й человек надел свою шляпу. Выразите через Ai

следующие события: B – «все одели свои шляпы», C – «ни один не одел свою шляпу», D – «хотя бы один надел свою шляпу».

2.8Двое поочередно бросают монету, выигрывает тот, кто раньше выбросит герб. Опишите следующие события: «выигрывает первый», «выигрывает второй». Какое событие будет в данном случае невозможным?

2.9Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Обозначим событие «первый студент решил задачу» через A1,

«второй студент решил задачу» - A2 , «третий студент решил задачу» -

A3 . Выразить через события Ai i 1, 2, 3 следующие события:

а) A – «все студенты решили задачу»;

б) B – «задачу решил только первый студент»;

в) C – «задачу решил хотя бы один студент»;

г) D – «задачу решил только один студент».

23

2.10 Пусть A, B, C – три произвольных события. Выразить через A, B, C и их отрицания следующие события:

а) произошло только событие C; б) произошли все три события;

в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло;

ж) произошло не более двух событий.

___

2.11Совместны ли события A и A B?

2.12Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт – бросание двух монет. События: A1 - «появление двух гербов», A2 - «появление двух цифр»;

б) опыт – три выстрела по мишени. События: B1 - «хотя бы одно попадание», B2 - «хотя бы один промах»;

в) опыт – бросание двух игральных костей. События: C1 - «хотя бы на одной кости появилось три очка», C2 - «появление чѐтного числа очков на каждой кости»; г) опыт – извлечение двух шаров из урны, содержащей белые и

черные шары. События: D1 - «взято два белых шара», D2 - «оба изв-лечѐнных шара одного цвета»; д) опыт – покупка двух лотерейных билетов. События:

E1 - «выиграют два билета», E2 - «выиграет хотя бы один билет»,

E3 - «выиграет только один лотерейный билет»?

2.13Образуют ли полную группу следующие события:

а) опыт – два выстрела по мишени. События: A1 - «два попадания в мишень», A2 - «хотя бы один промах по мишени»;

24

б) опыт – бросание двух игральных костей. События: B1 - «сумма очков на верхних гранях больше 3», B2 - «сумма очков на верхних гранях равна 3»;

в) опыт – выдано четыре кредита. События: C1 - «возвращен один кредит», C2 - «возвращены два кредита»;C3 - «возвращены три кредита», C4 - «возвращены четыре кредита»;

г) опыт – покупатель посещает три магазина. События: D1 - «поку-

патель купит товар хотя бы в одном магазине», D2 - «покупатель не купит товар ни в одном магазине»?

2.14 В экзаменационном билете три вопроса. Рассматриваются события: A1 - «дан правильный ответ на первый вопрос», A2 - «дан

СA1 A2 A3 , В A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .

2.8«выигрывает первый»=

Г Р Р Г Р Р Р Р Г Р Р Р Р Р Р Г ...;

«выигрывает второй»=

=Р Г Р Р Р Г Р Р Р Р Р Г Р Р Р Р Р Р Р Г ...;

ничья. 2.11 нет. 2.12 а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет. 2.13 а) да; б) нет; в) нет; г) да.

25

1.3. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные модели

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, но не всех, а только таких, которые обладают свойством статистической устойчивости относительных частот. В любой вероятностной модели считаются известными все возможные неразложимые исходы эксперимента. Однако множество таких исходов может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого строят различные вероятностные модели.

Пусть Ω - множество всех возможных исходов некоторого эксперимента. Каждый элемент ω множества Ω называют

элементарным событием или элементарным исходом, а само множество Ω - пространством элементарных событий. Любое событие А рассматривается как некоторое подмножество (часть) множества Ω, т.е. A Ω .

Из аксиом А.1–А.3 следуют основные свойства вероятности:

1)Если Ø – невозможное событие, то P (Ø)=0.

2)P A 1- P A .

26

3)При A B справедливо неравенство: P A ≤P B .

4)Для любых двух событий А и В: P A B P A P B - P A B .

(это свойство называется расширенной формулой сложения).

конечно. Вероятностная схема таких опытов была описана французским математиком П. Лапласом.

Множество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с конечным числом результатов обозначается Ω , а его элементы – маленькими буквами ωi : Ω ω1,ω2,...,ωn .

Случайное событие А представляется в виде множества элементарных исходов.

Возможность наступления какого-либо элементарного исхода оценивается числом p, которое называется элементарной

вероятность случайного события А вычисляется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению А, к общему числу возможных элементарных исходов.

27

Следовательно, общее число возможных элементарных исходов равно:

Обозначим через А – событие, состоящее в том, что три извлеченные наудачу карты будут «тройка, семерка, туз». Так как «троек» в колоде 4 штуки, то количество способов извлечь одну

«тройку» из четырех равно C41 . Такое же количество способов соответствует извлечению одной «семерки» из четырех «семерок», одного «туза» из четырех «тузов». Значит, по правилу произведения число исходов, благоприятствующих появлению события А равно: |А|

■

Пример 3.3 Будущих бухгалтеров учат проверять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает студентам проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад 2 накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что они окажутся: а) обе ошибочные; б) одна ошибочная, а другая нет; в) обе правильные?

Решение: Эксперимент состоит в случайном выборе 2 элементов из имеющихся 10. Значит, количество элементарных исходов будет равно

а) Пусть событие А – «обе накладные ошибочные». Число способов

29

б) Обозначим событие «одна ошибочная, другая нет» через В. Количество способов извлечь 1 неправильную накладную из 4 равно 4, количество способов взять 1 правильную накладную из 6-ти правильных равно 6. По правилу умножения число исходов, благоприятствующих

в) Пусть событие С – «обе правильные», тогда события А, В и С образуют полную группу – они несовместны и в результате испытания может произойти только одно из них: A B C Ω . По теореме о сумме вероятностей событий, образующих полную группу:

P A P B P C 1. Отсюда: P C 1- 0,133 - 0,533 0,334.

■

Пример 3.4 Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если 5, взятых наугад, образцов соответствуют стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии 8 единиц товара с дефектами. Какова вероятность того, что партия поступит на реализацию?

Решение: Эксперимент состоит в извлечении 5 элементов из множества, содержащего 100 элементов, следовательно, число всех возможных элементарных исходов равно: |Ω| C1005 . В данной партии 8

единиц товара с дефектами, значит, 92 изделия – качественных. Для того чтобы партия поступила на реализацию необходимо, чтобы среди проверяемых 5-ти образцов брака не было. Следовательно, число исходов, благоприятствующих появлению данного события равно: |А|

30