2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема

1) – целое число.

2) : = , = → ( ).

3) : .

4) Биномиальная теорема. . (1)

Доказательство: →

→ элемента;

→ элементов.

Надо узнать, какой коэффициент при → → после перемножения получается различных комбинаций, но некоторые элементы повторяются. То есть коэффициент при равен числу r-сочетаний x из всех n скобок, где , то есть . ■

5) Следствие 2. Если в формуле (1) x = y = 1, то

.

6) Следствие 3. Если в формуле (1) x = -1, y = 1, то

.

Пример 8. Найти число двоичных наборов длины n из 0 и 1, имеющих r единиц.

Решение: Всего двоичных наборов длины n из 0 и 1 – 2ⁿ, из них, имеющих r единиц, равно

= .

Пример 9. Для освещения зала может быть включена каждая из 10 ламп. Сколько существует различных способов освещения зала?

Решение: Очевидно столько, сколько существует подмножеств у десятиэлементного множества, т.е. . При этом учитывается и тот способ освещения, при котором ни одна лампа не горит.

Пример 10. Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение: По формуле (1) имеем

.

Значит, (2+i)⁶ = –117 + 44i.

7) a) Пусть (четное число), тогда .

b) Пусть (нечетное число),тогда

,

где [n/2] – целая часть числа n/2.

Доказательство:

a) Надо доказать, что , если , где r = 0, 1,…, – 1.

= , = , = = < 1. Так как , то ; n – r ≥ r+1+1. Тогда (r+1)/(n-r) ≤(r+1)/((r+1)+1) <1.

Доказательство для b) аналогично.

Утверждение 4. Число r-сочетаний с повторениями из n элементов

.

Доказательство: Пусть {x₁,…, x_n} – наши элементы, из них выберем r элементов {} без учета порядка, но с повторением.

Пусть x₁ встречается α₁ раз,

x₂ встречается α₂ раза,

…

x_n встречается α_n раз,

где 0≤ α_i≤ r, 1≤ i≤ n; α₁ + α₂ +…+ α_n = r.

Число наших выборок равно числу решений нашего уравнения в целых положительных числах. Итак, выборка дает решение, и наоборот, решение дает выборку, то естьвзаимнооднозначное соответствие между уравнением и выборками.

Пусть α₁,…,α_n – решение уравнения . Тогда выписываем α₁ единиц, затем 0, затем α₂ единиц, затем 0, и так далее:

0 0…0 .

В этом наборе единиц r штук, нулей (n – 1) штук.

По каждому решению уравнения получим наборы из 0 и 1 длиной r + n – 1.

Итак, каждый такой набор дает решение . Поэтому число решений уравнения равно числу наборов из r + n – 1 нулей и единиц, каждый из которых имеет ровно r единиц, а это число равно .

Пример 11. E= {1, 2, 3}. Сколько сочетаний с повторениями из E по 2?

Решение: D²₃ = C²₄ = (4!)/(2!2!) = (3•4)/2 = 6. Всего таких сочетаний 6, а именно: 11, 12, 22, 23, 13, 33.

Задача. Если дано (x+y+z)⁴, как найти коэффициент при x²yz?

Решение: (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) – из каждой скобки вытаскиваются различные переменные, таких вариантов 3⁴.

Как получается x²yz : x x y z

x y x z.

… … … …

Как подсчитать, сколько раз встретится x²yz.

Сначала мы выбираем x по максимальной степени, что будет наборов. Тогда вариантов будет для выбора y. По правилу произведения вариантов будет для выбора x²y. Аналогично, •С¹₂• С¹₁ вариантов будет для выбора x²yz. Другими словами, x²yz встретится •С¹₂•С¹₁ = •С¹₂ = (4!)/(2!2!)•(2!)(1!1!)=3•4=12 раз.

Решение подобных задач дает следующая полиномиальная

Теорема 1. .

Доказательство: (x₁ + x₂ +…+ x_k)…(x₁ + x₂ +…+ x_k) – всего n скобок.

Для того чтобы выбрать r₁ штук x₁ из n скобок необходимо вариантов. Далее у нас осталось (n – r₁) скобок, значит, число выборов r₂ штук x₂ из (n – r₁) скобок будет . Тогда общее число выборов будет и т.д. Тогда число выборов r_k штук x_k из (n – r₁ –…– r_k-1) скобок будет , так как r₁ +…+ r_k = n.

Всего выборов будет

n!

=

r₁!r₂!...r_k!

Значит, коэффициент при будет .

Пример 12. Найти коэффициент при x²yz в (x+y+z)⁴.

Решение: По полиномиальной теореме коэффициент при x²yz будет равен (4!)/(2! ·1! ·1!)=3·4=12.

Пример 13. Сколько различных сочетаний букв можно составить из слова МАКАКА.

Решение: Используем полиномиальную теорему. Будем оперировать с буквами как с выражениями вида (М+А+К)⁶ .

Так как в слове МАКАКА букв →

то число искомых слов (различных сочетаний букв из слова МАКАКА) будет равно коэффициенту при члене

МА³К² → = 60.