1.5. Отображение множеств

Определение. Соответствие, сопоставляющее каждому элементу х множества Х один и только один элемент множества Y, называется отображением множества Х в множество Y.

Пример 12. Если каждое пальто в гардеробе висит на одном крючке, то ставя в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит, получаем отображение множества пальто Х в множество крючков Y.

Элемент множества Y, соответствующий при отображении f элементу х из Х, обозначают f(x) и называют образом элемента х при этом отображении. Если f(x)=у, то элемент х называют прообразом элемента у при отображении f.

f : Х→Y (y = f(x)).

1.6. Отношения

Определение. Назовем n-местным отношением R на множестве М≠ Ø подмножество R Mⁿ. При n=2 отношение R называют бинарным. То есть бинарным отношением между элементами множеств А и В называют любое подмножество R множества АВ и записывают R АВ. Для отношения R обратным является отношение R^-1 ВА.

Бинарные отношения принято записывать в виде аRb, где а, b є М.

Графики прямых и обратных бинарных отношений, определенных на R, симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 квадрантов.

1.7. Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность: аRa («быть не больше», «быть не меньше»).

2. Антирефлексивность: отношение не обладает свойством 1 для любого а (например, «быть больше», «быть меньше», «быть младше»).

3. Симметричность: для любых двух элементов а, b є М : аRb и bRа (т.е. R = R^-1). Симметрична параллельность прямых, так как если a II b, то b II a («быть равным»; «быть взаимнопростым»).

4. Aнтисимметричность: если для а ≠ b верно отношение аRb, то ложно bRа («быть больше», «не меньше», «быть делителем»).

5. Транзитивность: если аRb и bRс, то аRс для любых а, b, с є М («быть больше», «быть параллельным», «быть равным»).

6. Антитранзитивность: отношение не обладает свойством 5.

7. Асимметричность: ни для одной пары а и b не выполняется одновременно аRb и bRа.

8. Связность: для любых а и b, если а ≠ b, то аRb или bRа.

Вывод :

Отношение ≤ и ≥ (нестрогого порядка), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение < и > (строгого порядка), если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пример 13. Бинарное отношение

R = {(x,y) : x є R, у є R, х²-у²>0} обладает свойствами антирефлексив-ности и транзитивности.

Пример 14. Бинарное отношение

R = {(x,y) : x є R, у є R, х-у ≥ 1} обладает свойствами антисимметрич-ности и транзитивности.

Пример 15. Свойством симметричности обладает бинарное отношение «быть подобным».

1.8. Алгебра подмножеств

Определение. Множество всех подмножеств множества М называется булеаном множества М и записывается Е = В(М).

Пример 16. Пусть М= {a,b,c,d}. Найти │E│=?

Решение: Е={Ø,{a},{b},{c},{d},{a,b},..,{a,b,c},..{a,b,c,d}}. Отсюда │E│= С°₄ +С¹₄+С²₄+С³₄+С⁴₄ = 2⁴ = 16.

Замечание. {a}є Е ; {a,b} є Е ; {a,b,c} є Е ; { a,b,c,d} є Е. Но {{a}} Е ; {{a},{b}} Е; {{a,b,с,d}} E.

Пример 17. Х = {x₁, ..,x_n}. Найти │В(X)│.

Решение: │E│=│B(Х)│= 2ⁿ.