3.16. Самодвойственные функции, их свойства

Определение. Функция , для которой выполняется равенство , называется самодвойственной.

Класс всех самодвойственных функций из обозначим через.

Очевидно, . Покажем, что

.

Действительно, согласно принципу двойственности,

.

.

Из определения следует, что самодвойственная функция , то есть на противоположных наборах и самодвойственная функция принимает противоположные значения. Отсюда следует, что самодвойственная функция полностью определяется своими значениями на первой половине строк её табличного представления, то есть .

Утверждение 5. Класс замкнут.

Доказательство: Так как , то достаточно показать, что функция является самодвойственной, если функции самодвойственны.

по утверждению 4. Так как самодвойственны, то .

3.17. Лемма о несамодвойственной функции

Лемма 3. Если , то из неё путем подстановки функций иможно получить константу.

Доказательство: Так как , то найдется набор такой, что .

Рассмотрим функции .

Положим .

Мы имеем

то есть

Так как , то , значит– константа.

Лемма доказана.

Пример: Пусть дана функция такая, что .

Рассмотрим функцию

–константа.

3.18. Монотонные функции, их свойства

Рассмотрим два набора , .

Определение. Для двух наборов ивыполненоотношение предшествования , если.

Пример: ,.

Очевидно, если и, то. Отметим, что не любые пары наборов находятся в отношении предшествования, поэтому множество всех наборов длиныпо отношению к операции предшествованияявляется частично упорядоченным.

Определение. Функция называется монотонной, если для любых двух наборов и, таких, что, имеет место неравенство.

Обозначим через множество всех монотонных функций из.

, .

Утверждение 6. Класс замкнут.

Доказательство: Так как , то для установления замкнутости классадостаточно показать, что функция является монотонной, если монотонны.

Пусть и– два набора длинызначений переменных, причем.

Надо показать, что .

, где – поднаборы.

, где – поднаборы.

Так как , то.

А поскольку монотонны, то.

Тогда .

Так как монотонна, то.

Отсюда следует, что , а это значит, монотонна.

3.19. Лемма о немонотонной функции

Лемма 4. Если , то из неё путем подстановки констант 0 и 1 и функции можно получить функцию.

Доказательство: Пусть , тогда найдутся 2 набора , такие, что при .

Так как , то.

Пусть наборы иразличаются в первыхразрядах, где, то есть

Рассмотрим функцию.

так как при .

, это значит,.

Лемма доказана.

3.20. Теорема о полноте в р2

Теорема 7. Система функций из полнаона целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов.

Доказательство: Необходимость. Пустьполна, то есть. Допустим, что, гдеодин из 5 перечисленных классов. Тогда в силу свойств замыкания и замкнутостиимеем, противоречие.

Достаточность . Пустьне содержится целиком ни в одном из пяти указанных классов, значит вфункции. Итак, из системывыделим подсистему, которая также целиком не содержится ни в одном из пяти указанных классов. Будем считать, что все эти функции зависят от одних и тех же переменных .

I. Построение констант 0 и 1 при помощи функций .

Рассмотрим . Возможны два случая:

а) .

Пусть .

Возьмем ;– вторая константа.

б) .

Пусть .

Рассмотрим . Так как мы имеем, то по лемме 3 мы можем получить константу. Используя константуиможем получить другую константу.

II. Построение функции при помощи констант 0 и 1 и. Это следует из леммы 4.

III. Построение при помощи констант. Это осуществляется на основе лемм 1 и 2.

Таким образом, при помощи формул над (а значит и над) реализовали функции..

Теорема доказана полностью.

Из доказательства теоремы 7 следует

Следствие 8. Всякий замкнутый класс функций изтакой, что, содержится по крайней мере в одном из классов.