- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
5.2. Основные понятия и определения
Определение. Пусть даны 2 множества: V = {v1,v2,...} и E = {(vi,vj)/ vi,vj V}. Тогда пара (V,E) есть граф, где V – множество вершин, E – множество ребер.
Мы будем рассматривать такие графы, в которых множества V и E конечны, такие графы называются конечными.
Все графы делятся на 2 группы:
ориентированные графы или орграфы (когда важен порядок вхождения вершины в пару, которая определяет ребро);
неориентированные графы (когда порядок вхождения вершины в пару не важен).
Замечание. По умолчанию граф неориентирован.
Определение. Ребро вида называется петлей.
Определение. Ребра вида , , где , называются кратными.
Определение. Пусть |V| = p, |E| = q, тогда граф, содержащий p вершин и q ребер, называется (p,q)-графом.
Если G – (p,q)-граф, то p(G) – число вершин в графе G, q(G) – число ребер в графе G.
Определение. Вершины и называются смежными, если ребро из E вида (если ребро, которое их соединяет). В этом случае также говорят, что вершина и ребро инцидентны друг другу.
5.3. Способы задания графа
Пусть дан граф G = (V,E) = (p,q).
1. Перечисление: Сначала перечисляем элементы множества V:
, а потом – элементы множества Е: .
Пример 1: V=,
E = ,
где , – кратные ребра, – петля, (V,E) – неориентированный граф.
2. Матрица смежности имеет p строк и p столбцов. На (i, j)-м месте
стоит число, которое означает, сколько ребер типа . В орграфе мы будем ставить число со знаком «+», если ориентирован от к и «–», если наоборот (от к ). Матрица является диагональной.
3. Матрица инцидентности. Инцидентность – геометрический термин, употребляемый для обозначения () отношения принадлежности между основными объектами. Дана матрица, которая содержит p столбцов и q строк. На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число 0 или 1, которое означает инцидентно ли данное ребро данной вершине.
4. С помощью диаграммы вершины графа изображаем точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки.
5.4. Некоторые соотношения в графе
Определение. Пусть , тогда – число ребер, инцидентных вершине (число называют степенью вершины).
Замечание. В примере 1 (с. 78) . Если , то вершина изолирована.
Утверждение. Пусть – граф без петель. Тогда .
Доказательство очевидное. Каждое ребро дает в сумму вклад 2, так как оно учитывается 2 раза.
Определение. Пусть G – граф без петель и кратных ребер. Тогда он называется полным, если любые две его вершины смежны. Полный граф обозначим через Kp, где p – число его вершин.
Замечание. Совершенно очевидно, что в полном графе число его ребер
.
Пример:
K4: K5: K3:
, ,
Определение. Пусть дан граф , тогда называетсяподграфом графа , если и .
Определение. Маршрутом в графе G называется последовательность ребер вида: ;
цепью – такой маршрут, в котором все ребра различны;
циклом – замкнутый маршрут.
В примере 1
–маршрут и цепь;
–цикл.
Определение. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует маршрут, который их соединяет, т.е. . В противном случае граф называется несвязным.
Замечание. Так как мы имеем дело с конечными графами, то любой граф можно представить в виде конечного объединения связных подграфов. Такие подграфы называются компонентами связности.