3.21. Предполные классы

Определение. Класс функций изназываетсяпредполным, если , а.

Определение. Класс функций изназываетсяпредполным, если неполный класс, а дляфункциикласс– полный.

Из определения следует, что предполный класс замкнутый.

Следствие 9. В существуют только 5 предполных классов, а именно.

Доказательство: Возьмем произвольный класс . По следствию 8содержится в одном из пяти классов. Пусть.

а) , тогда, где, то есть– предполный по определению.

б) , это значит, что, ноне является предполным в, значит пункт б) отбрасывается из рассмотрения.

3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций

Теорема 8. Из всякой полной в системы функцийможно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

Доказательство: Согласно теореме 7 из системы функций можно выделить полную подсистему, содержащую не более 5 функций, то есть,.

Оказывается , либо не самодвойственна (случайа пункта 1 в доказательстве теоремы 7), так как , либо не сохраняет единицу и не монотонна (случайб пункта 1 в доказательстве теоремы 7): . Поэтому полной будет либо система, либо система.

Теорема доказана.

3.23. Представление о результатах Поста

Определение. Система функций называетсябазисом в замкнутом классе , если, а.

Другими словами, базис класса есть его минимальная полная подсистема.

Пример: 1) - базис в.

2) - базис в.

В 1921 г. появилось краткое сообщение о крупном исследовании в , выполненном известным американским математиком Э. Постом. Однако только через 20 лет, в 1941 г. автору удалось оформить этот труд в виде монографии «Two-valued iterative system». Монография написана на языке отношений и занимает очень большой объем. Основным результатом этой работы является построение всех замкнутых классов в .Формально основные результаты Поста можно сформулировать в виде следующих теорем:

Теорема 9. Каждый замкнутый класс из имеет конечный базис.

Теорема 10. Мощность множества замкнутых классов в счетна.

Хотя вторая из этих теорем логически следует из первой, тем не менее в доказательстве Поста сначала устанавливается второй факт, а затем – первый.

Заметим, более современное изложение результатов Поста имеется в книге «Функции алгебры логики и классы Поста» (см. дополнительную литературу [1] к разделу 3). Книга изложена на языке функций и занимает всего 120 страниц.

3.24. Задания для самостоятельной работы

В приведенных ниже заданиях формула, определяющая булеву функцию f (в зависимости от номера варианта), представлена в таблице 1.

1. Функцию f задать: а) с помощью таблицы; б) графически с использованием структуры.

2. С помощью эквивалентных преобразований упростить формулу, определяющую функцию f.

3. Построить функцию, двойственную к функции f.

4. Представить функцию f: а) в виде СДНФ; б) в виде СКНФ.

5. Определить, каким из классов Т0, Т1, S, L и M принадлежит функция f.

6. Выяснить, является ли данная функция шефферовой. Если нет, то какую одну функцию надо добавить к ней, чтобы получить полную систему. Единственным ли образом это можно сделать?

Таблица 1

Номер варианта Формула, определяющая функцию

1 (((x1+x4)(x2  x3))+((x1x4)x3x1x2) 2 ((x1x2)(x2  x4))((x3 +x4) x1x3) 3 ((x1+x3)(x2 x4))((x1+x3)(x2x4)) 4 ((((x1x2x3)(x1 x4))x1)+(x2x3))x1x3 5 (((x1 x2)(x3+x4))(( x1x3)x4))x3 6 ((x1+(x2x3))(x4 x1))(x1(x2+(x3x4))) 7 ((((x1x2)x3)+x4)(x1x3x2x4))x1x4 8 (((x1x3)+(x2x4))(x1x4)) (x3x2 x3) 9 ((x1((x2x4)+x3))x1x2)((x2x3)x4) 10 ((x1(x3x4))(x2+(x3x4)))(x1x3x4)

7. Выясните, полна ли система функций .

8. Выясните, полна ли система функций .

9. Выясните, полна ли система функций {}.

10. Выясните, полна ли система функций {}.

11. Выясните, полна ли система функций {}.

12. Выясните, полна ли система функций {}.