3.13. Классы и их свойства

Определение. – класс всех булевых функций , сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых выполнено .

1) , но.

2) .

Утверждение 2. – замкнутый класс.

Доказательство: Так как , рассмотрим суперпозицию

,

где . Тогда

.

Это означает, что любая суперпозиция функций из класса сохраняет константу 0, т.е. класс замкнут.

Определение. – класс всех булевых функций , сохраняющих константу 1, то есть функций, для которых выполнено .

1) , но.

2) .

Утверждение 3. – замкнутый класс.

Доказательство: Так как , то достаточно показать, что функция , если . Действительно, .

3.14. Линейные функции и их свойства

Пусть – класс всех линейных функций.

Определение. называется линейной функцией, если её представление в виде полинома Жегалкина содержит только линейные члены, то есть

, (8)

где ; существенные переменные входят с коэффициентом 1, фиктивные – с коэффициентом 0.

1) Очевидно, что класс замкнут, так как линейное выражение, составленное из линейных выражений, является линейным.

2) Функции ;

3) Функции ;

4) , так как выбор константв представлении (8) осуществляется именно 2ⁿ⁺¹ способами.

Докажем леммы о нелинейной функции.

Лемма 1. Если , то из неё путем подстановки констант 0 и 1 можно получить нелинейную функцию, зависящую от двух переменных.

Доказательство: Из теоремы 6 известно, что любая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина, причем единственным образом.

Рассмотрим . Так как – нелинейная, то её разложение в виде полинома содержит нелинейные слагаемые.

Пусть – конъюнкция в полиноме Жегалкина, содержащая наименьшее число переменных. При этом . Делаем следующую подстановку констант:

–оставляем,

,

.

В результате мы получили, что есть нелинейная функция, конъюнкция переходит в . Так как – конъюнкция, содержащая наименьшее число переменных, то остальные конъюнкции обратятся в 0. Лемма доказана.

Лемма 2. Из нелинейной функции от 2-х переменных подстановкой функций вида можно получить либо конъюнкцию , либо функцию вида .

Доказательство: Любая нелинейная функция от 2-х переменных может быть представлена в виде:

.

Так как – нелинейная, то ; так как ;.

Тогда

;

.

Лемма доказана.

3.15. Принцип двойственности

Определение. Функция , равная , называется двойственной функцией к функции .

Легко видеть, что среди функций

функция двойственна ,

двойственна ,

двойственна ,

двойственна ,

двойственна ,

двойственна .

Действительно, ,.

Из определения двойственности вытекает, что , то есть функция является двойственной к(свойство взаимности).

Утверждение 4. Пусть , тогда .

Доказательство:

.

Из утверждения 4 вытекает принцип двойственности:

Если формула , построенная над множеством , реализует функцию , то формула , построенная заменой на для , реализует функцию , двойственную той, которую реализует формула .

Пример: Для формул над множеством принцип двойственности может быть сформулирован так: для получения формулы над , двойственной к формуле над , нужно в формуле над всюду заменить на , на , на , на .