Раздел 2 элементы комбинаторики

2.1. Комбинаторика

Комбинаторика – раздел дискретной математики, рассматривающий задачи существования, эффективного построения, перечисления и оптимизации объектов, зависящих от достаточно большого числа дискретных переменных. Создатель комбинаторики – Готфрид Вильгельм Лейбниц. Именно он и ввел термин «комбинаторный» в современном его значении в работе «Dissertatio de Atre Combinatoria», написанной в 1666 году. До середины ХХ века считалось, что комбинаторика может использоваться как поставщик интересных и трудных задач для математических олимпиад. Положение существенно изменилось в связи с созданием вычислительной техники. Именно благодаря ЭВМ и началось подлинное становление комбинаторики как математической теории. В настоящее время методы комбинаторики широко используются в математике и кибернетике, а также в многочисленных прикладных исследованиях.

2.2. Различные комбинаторные соотношения

Правило суммы. Если есть конечные множества А и В, причем A ∩ B = Ø, тогда |A U B| = |A| + |B| (число элементов в объединении множеств есть сумма чисел элементов в множествах).

Правило произведения. Пусть AB = {(,)/A, B} – декартово произведение множеств A и B, тогда |AB| = |A|·|B| (мощность множества АxВ есть произведение мощностей множеств А и В).

Пример 1. Пусть A = {1,2}, B = {a, b, c}. Тогда AB = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}. |AB| = |A|·|B| = 2·3 = 6.

Правило можно обобщить на n множеств: Пусть А₁, ... ,А_n – различные множества, тогда А₁ ... А_n = {(α₁, α₂,…, α_n) | α₁ А₁, α₂ А₂,…, α_n А_n} и |А₁ ... А_n| = |А₁|•|А₂|•••|А_n|.

Пример 2. Найти число двоичных наборов длины n.

Решение: Пусть А₁ = {0,1}, … , А_n = {0,1}. Тогда

, где E₂ = {0,1}.

Пусть нам дано некоторое конечное множество X = {x₁, … ,x_n}. Рассмотрим некоторое его подмножество {}. В дальнейшем такое подмножество назовем r-выборкой.

R-выборки бывают двух видов:

1. Если в r-выборке важен порядок элементов, тогда мы будем называть ее r-перестановкой из n элементов.

2. Если в r-выборке порядок элементов не важен, тогда будем называть ее r-сочетанием из n элементов.

В каждом из видов возможны 2 случая:

а) Допускается повторение элементов, тогда это r-перестановки с повторениями (или r-сочетания с повторениями).

b) Все элементы разные, тогда это r-перестановки без повторений (или r-сочетания без повторений).

Утверждение 1. Число r-перестановок с повторениями из n элементов П(n,r) = n^r.

Доказательство: Так как мы на каждое место можем поставить любой из n элементов, а таких мест r, значит всего возможностей по правилу произведения n^r. Действительно, А₁ = X,…,А_r = X, тогда .

Пример 3. X = {1,2,3}. Сколько двузначных чисел мы можем составить из элементов множества X?

Решение: Их всего n^r, где n = 3, r = 2. Тогда 3² = 9 чисел, а именно числа 11, 21, 31, 12, 22, 32, 13, 23, 33.

Утверждение 2. Число r-перестановок без повторений из n элементов , где .

Доказательство: , ; А₂ = Х₁, где , , …,

, где , . Другими словами, на первое место можно поставить n штук элементов, на второе – элементов и так далее, на последнее r-е место можно поставить n – r + 1 элементов. Тогда по правилу произведения

_r| =.

Замечание. Очень часто r-перестановки без повторений из n элементов в литературе называют размещением из n элементов по r. Приняты следующие обозначения P(n,r) = A^r_n = (n)_r (число размещений из n элементов по r).

Пример 4. Х = {1,2,3}. Сколько двузначных чисел без повторяющихся цифр можно составить из элементов множества Х?

Решение: Их всего P(n,r) = n(n – 1)(n – 2)...(n – r + 1), где n = 3, r = 2. Тогда P(3,2) = 3·2 = 6 чисел (12, 21, 13, 31, 23, 32).

Следствие 1. Если в утверждении 2 r=n, то это перестановка из n элементов, и тогда .

Пример 5. X = {1,2,3}. Сколько трехзначных чисел без повторяющихся цифр можно составить из элементов множества Х?

Решение: их всего P_n = n!, где n = 3. Тогда P₃ = 3! = 1·2·3 = 6 чисел: 123, 213, 231, 321, 312, 132.

Формула Стирлинга: ( ~ – асимптотически равно).

Если , то .

Утверждение 3. Число r-сочетаний без повторений из n элементов .

Доказательство: Берем произвольную неупорядоченную выборку {} – r-элементов. Из этой одной неупорядоченной получаем r! упорядоченных. А так как всего неупорядоченных выборок , то – число упорядоченных выборок. Поскольку каждая упорядоченная выборка получена перестановкой элементов в неупорядоченной, то

.

Пример 6. X = {1,2,3}. Найти : 12, 13, 23 (неупорядоченные двузначные числа без повторяющихся цифр).

Пример 7. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение: В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т.е. их число равно = 153.

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона состоится 306 встреч.

Числа , где r = 0,1,…,n называют биномиальными коэффициентами.

0! = 1 (по определению, для удобства).