Раздел 3 алгебра логики

3.1. Булевы функции

Рассмотрим 2-х элементное множество , далее n-ю декартовую степень множества , элементами этого множества являются наборы:.

Определение. Булевой функцией называется функция, у которой как переменные, так и сама функция принимают значения из .

Таким образом, булева функцияотображает . Функцию удобнее всего задать в виде таблицы:

0 0 … 0 0 0 … 1 . . . . . . . 1 1 … 0 1 1 … 1	. . . . . . .

Обозначим через множество всех булевых функций (или – двухзначная логика), через – множество всех функций из , зависящих от n переменных.

Утверждение 1. ||=.

Доказательство: Это соотношение непосредственно следует из табличного построения функций.

Наборов значений переменных длины из нулей и единиц в таблице – . Для набора функция принимает значение 0 или 1. Поэтому всего количество функций – .

Примеры некоторых элементарных булевых функций:

1) Функции от одной переменной:

x	0(x)	1(x)	x
0 1	0 0	1 1	0 1	1 0

2) Функции от двух переменных:

0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 1	0 1 1 1	0 1 1 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 0 0 0	1 0 0 1

Приведем названия этих функций.

–тождественная функция.

= ¬ x – отрицание , читается «не» или «неверно, что».

–конъюнкция и, читается «и».

– дизъюнкция и, читается «или».

–сумма по модулю 2 и, читается «плюс».

– импликация и, читается «если, то».

–штрих Шеффера и, читается «неили не».

–стрелка Пирса и, читается «неи не».

–эквиваленция и, читается «эквивалентно».

Определение. Рассмотрим функцию .

1. Переменная , называется существенной для функции  , еслитакие значения, что.

2. Переменная называетсянесущественной или фиктивной для функции , если она не является существенной.

Примеры:

1. В функциях переменная фиктивная.

2. В функциях переменнаясущественная.

3. Пусть нам дана функция f(x₁,x₂) = .

а) проверим на существенность, пусть, тогда, тогда по определению– существенная переменная;

б) проверим на существенность, пусть, тогда; пусть, тогда, значит,по определению существенная.

Таким образом, в функции f(x₁,x₂) = обе переменные существенные.

4) В функциях ,,,x₁↓x₂ , x₁↔x₂ , x₁→x₂ проверить переменные на существенность самостоятельно.

Определение. Две функции иназываютсяравными , если они отличаются друг от друга только фиктивными переменными.

Примеры:

1. ;

2. .

Замечание. В дальнейшем всюду функции рассматриваются с точностью до фиктивных переменных, т.е. если задана функция , то задана и любая равная ей функция.

Как сравнивать функции с разными переменными – рассматривать функции на наборах всех различных переменных, введя последние в данную функцию как фиктивные.

Пример:

0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 1 1	0 1 0 1

,

.

Из таблицы видно, что .