2.6. Производящие функции

В комбинаторных задачах на подсчет числа объектов при наличии некоторых ограничений искомым решением часто является последовательность вида

a₀, a₁, a₂, …, a_k, …, (4)

где a_k (k=0, 1 …) – число искомых объектов «размерности» k. Например, если мы ищем число подмножеств n-элементного множества, то Удобным представлением этой последовательности является формальный ряд

(5)

₌

Замечание. Фраза «формальный ряд» означает, что (5) рассматривается просто как вид (или форма) записи последовательности (4), и никакой другой смысл в эту запись не вкладывается.

Определение. Формальный ряд (5) называется производящей функцией последовательности (4).

Производящие функции получили широкое распространение в комбинаторике в силу следующих обстоятельств.

Во-первых, они позволяют, не вычисляя каждое из чисел a₀, a₁, a₂, …., a_k, … по отдельности, получить все эти решения в «собирательной» форме. В то же время для любого фиксированного k (k = 0, 1, …) число может быть вычислено аналитическими методами. Действительно, из курса математического анализа известно, что при выполнении определенных требований функция f(x) может быть разложена в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора, соответствующий разложению в окрестности точки 0),

(6)

где а_i = (i=0,1,...).

Сравнение (6) и (5) дает основание считать, что в записи (5) , и трактовать A(x) как значение функции A в точке x.

Во-вторых, производящие функции позволяют в явном виде находить функцию, определяющую последовательность (4), устанавливать соотношения между числами a₀, a₁, a₂, …, a_k, …, а также получать различные тождества. Это достигается с помощью использования ряда стандартных методов, использующих операции, определенные над производящими функциями. Рассмотрим некоторые из таких операций.

Пусть заданы производящие функции

=

и

.

Суммой производящих функций A(x) и B(x) называется производящая функция

A(x)+B(x)=(a₀+b₀)+(a₁+b₁)x+…+(a_k+b_k)x^k+…=

Произведением производящей функции A(x) на число p называется производящая функция

Произведением производящих функций A(x) и B(x) (оно также называется произведением Коши) называется производящая функция

A(x)B(x) = с₀+с₁x+…+с_kx^k+…= ,

где c_k = a₀b_k + a₁b_k-1 +…+ a_k-1b₁ + a_kb₀ = для всех k=0, 1 … .

Производной от производящей функции A(x) называется производящая функция

Пример 15. Найти производящую функцию последовательности, определяемой функцией f(k) = 1 для всех k = 0, 1, ….

Решение: Заданная последовательность имеет вид

1, 1, … , 1, ….

Из (5) следует, что производящая функция A(x)=1+x+x²+…+x^k+… .

При |x|<1 правая часть этого равенства представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Считая, что условие |x|<1 выполняется и заменяя прогрессию ее суммой, получим, что

.

Пример 16. Найти производящую функцию последовательности, определяемой функцией для всех k = 0, 1, ….(n фиксировано).

Решение. Из (5) следует, что

Пример 17. Доказать тождество

. (*)

Решение: Дифференцируя равенство

получим .

Подставив в это равенство x = 1, получим (*).