2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов

Производящая функция является устройством, отчасти напоминающим мешок. Вместо того чтобы нести отдельно много предметов, что могло бы оказаться затруднительным, мы собираем их вместе, и тогда нам нужно нести лишь один предмет – мешок.

Д. Пойа

Биномиальная теорема указывает на то, что (1+z)ⁿ – это производящая функция для последовательности . Действительно,

Часто бывает удобно вместо ряда (5) рассматривать ряд вида

, (7)

который мы будем называть экспоненциальной производящей функцией последовательности (4).

Производящие функции числа основных комбинаторных объектов:

1. производящая функция для

2. Производящей функцией числа сочетаний из множества

E = {e₁, e₂, …, e_n}, заданных условиями, согласно которым кратность каждого элемента e_i может быть одним из чисел является функция

+^…),

а коэффициент при x^k , полученный после раскрытия скобок, равен числу таких сочетаний.

3) Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k без всяких ограничений на кратность элементов в данном сочетании (т.е. кратность каждого элемента может быть любым целым неотрицательным числом), таким образом,

В данном случае производящая функция выглядит следующим образом:

.

4) Найти число сочетаний с повторениями из n элементов по k, в которых каждый элемент встречается не менее r раз (т.е. кратность каждого элемента может быть одним из чисел r, r+1, r+2, ...). Производящей функцией для числа сочетаний такого вида является функция

.

₅₎

– экспоненциальная производящая функция числа размещений A_n^k.

6)

– экспоненциальная производящая функция числа n^k (т.е. числа k-пере­становок с повторением элементов в n-элементном множестве).

Пример 18. Какой вид имеет производящая функция для сочетаний из трех элементов, в которых каждый элемент встречается не менее одного раза?

Решение: n = 3, r = 1, тогда

Пример 19. Имеется множество M = {a, b, c}, из элементов которого строятся пятиместные размещения со следующими ограничениями на частоту повторения элементов:

1. элемент a может входить в размещение не более одного раза;

2. элемент b может входить в размещение один или два раза;

3. элемент c может входить в размещение неограниченное число раз.

Найти число размещений описанного типа.

Решение: Как известно, число k-размещений с повторением элементов в n-элементом множестве равняется n^k.

Производящая функция для размещений с повторениями выглядит так:

коэффициент при равен .

Согласно условиям исходной задачи производящая функция выглядит следующим образом:

.

Теперь, перемножив скобки, ищем коэффициент перед , он и есть решение исходной задачи.

Получаем

=

=

.

Число размещений равно 65.

Пример 20. Какой вид имеет производящая функция для размещений из трех разных элементов, в которых каждый элемент встречается не менее двух раз?

Решение: Известно, что .

2.8. Задания для самостоятельной работы

1.Найти сумму корней уравнения= 18 ·

2. Какой коэффициент имеет слагаемое в разложении выражения

( - )²⁰, содержащее одночлен a⁷?

3. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

4. Найти количество способов выбора пяти делегатов на конференцию из восьми человек.

5. Найти количество перестановок букв в слове «цифра».

6. Найти число четырехзначных чисел, которые можно составить из четырех карточек с цифрами 1, 2, 5, 7.

7. Найти количество способов выбора четырех спортсменов из семи для участия в кроссе.

8. Сколько различных «слов» можно составить из слова «карта» (под словом понимается произвольное сочетание букв)?

9. На десяти одинаковых карточках написаны буквы м, а, т, е, м, а, т, и, к, а. Найти число способов получить слово «математика» при случайном выкладывании карточек в ряд.

10. Найдите количество слов длины 6 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буква a встречается на один раз больше буквы b.

11. Найдите количество слов длины 7 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буквы a и b встречаются одинаковое количество раз.

12. Найдите количество слов длины 6 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буква a встречается столько же раз, сколько буквы b и c вместе взятые.

13. Найдите количество слов длины 8 в алфавите {a, b, c, d}, в которых буква a встречается дважды, а буква b – не менее трех раз.

14. Найдите количество слов длины 5 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буква a входит не более двух раз.

15. Найдите количество слов длины 8 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буква a входит не более двух раз.

16. Найдите количество слов длины 8 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буква a входит не менее 3 раз и не более 5 раз.

17. Найдите количество слов длины 6 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буква a входит не менее 3 раз.

18. Найдите количество слов длины 7 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буква a входит не более 2 раз, а суммарное число вхождений букв b, c, d равно 3.

19. Найдите количество слов длины 7 в алфавите {a, b, c, d}, в которые буквы a,b,c входят одинаковое количество раз.