5.5. Перечисление графов

Определение. Пусть даны графы G и H на одних и тех же занумерованных вершинах . Тогда графы называются равными (G = H), если у них совпадает множество вершин и множество ребер.

Пример:

, так как в графе G нет ребра , а в графе H это ребро есть, т.е. множества ребер не совпадают.

Поставим 3 задачи и решим их с помощью аппарата комбинаторики. Заметим, что каждому графу соответствует матрица смежности и наоборот.

Задача 1. Сколько всего графов без петель и кратных ребер с p вершинами?

Решение: Построим матрицу смежности, она выглядит следующим образом:

Для решения задачи надо подсчитать число всевозможных вариантов в заштрихованной области. Заштрихованная область имеет позиций. Тогда графов будет , так как в каждой позиции может быть 0 или 1.

Задача 2. Сколько -графов без петель и кратных ребер?

Решение: На главной диагонали матрицы смежности стоят одни 0, так как граф без петель. Матрица состоит из 0 и 1, так как граф без кратных ребер. Матрица симметричная, так как граф неориентирован. Число -графов – это число способов расстановки в заштрихованной области q единиц, т.е. .

Задача 3. Сколько -графов без петель, но с кратными ребрами?

Решение: Матрица симметричная, на главной диагонали нули, состоит из чисел множества {0,1,…,q} (т.е. каждая позиция матрицы занята числом из множества {0,1,…,q}).

Число -графов без петель, но с кратными ребрами, – это число способов расстановки с повторениями q чисел на местах , т.е. (q – сочетание с повторениями из ).

Определение. Графы G и H называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между их вершинами и ребрами такое, что соответствующие ребра соединяют соответствующие вершины, в противном случае графы G и H называются неизоморфными .

Замечание. По другому (изоморфны), если существует взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, которое сохраняет смежность, т.е. если , , то , где ,.

Пример:

а)

, и это соответствие сохраняет смежность.

б)

• , так как смежность не сохраняется.

в)

5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами

Пусть (p) – множество графов из p вершин, (p) – множество всех неизоморфных графов из (p) (разных с точностью до изоморфизма). Очевидно, что |(p)|≤ | (p)|, где (p) и (p) – конечны.

Берем любой граф G(p), тогда устраивая перенумерование p вершин, можно получить p! других вершин. Значит, из каждого графа G(p) можно получить не более p! графов. А поскольку каждый граф из (p) получается переработкой, то

(1)

Соотношение (1) дает оценку числа неизоморфных графов с р вершинами.

5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами

Пусть γ(q) – число неизоморфных графов без изолированных вершин с q ребрами.

Лемма 1. , где с– некоторая константа.

Доказательство: Так как по условию существует q ребер, значит различных концов в графе не более 2q, значит, в нашем графе не более 2q вершин. Эти вершины занумеруем числами:

Начало графа можно выбрать 2q способами, конец – тоже 2q способами. Значит, всего возможностей разместить q ребер будет 2q*2q =4q². Таким образом наша задача нахождения числа неизоморфных графов γ(q) сводится к нахождению числа сочетаний с повторениями из 4q² позиций по q. Это число

=,где с =5e.

Лемма доказана.