Раздел 4. Синтез управляющих систем 62

4.1. Схемы из функциональных элементов 62

4.2. Определение схем из функциональных элементов 63

4.3. Основные понятия и определения 64

4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики СФЭ 66

4.5. Простейшие методы синтеза 69

4.6. Метод Шеннона 71

4.7. Асимптотически наилучший метод (метод О. Б. Лупанова) 72

4.8. Задания для самостоятельной работы 75

Раздел 5. Теория графов 77

5.1. Элементы теории графов 77

5.2. Основные понятия и определения 78

5.3. Способы задания графа 78

5.4. Некоторые соотношения в графе 80

5.5. Перечисление графов 81

5.6. Оценка числа неизоморфных графов с р вершинами 84

5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами 84

5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве 85

5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов 86

5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов 88

5.11. Операция подразделения ребра 89

5.12. Гомеоморфность графов 90

5.13 Теорема Понтрягина-Куратовского 90

5.14. Деревья и их свойства 91

5.15. Деревья и операции над ними 92

5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на р вершинах 95

5.17. Задания для самостоятельной работы 96

Литература 100

Введение

Дискретная математика – часть математики, которая зародилась в глубокой древности. Главной её спецификой является дискретность, т.е. антипод непрерывности.

В широком смысле дискретная математика включает в себя и такие сложившиеся разделы математики, как теория чисел, алгебра, математическая логика и ряд разделов, которые наиболее интенсивно стали развиваться в середине XX века в связи с внедрением ЭВМ.

Научно-технический прогресс XX века поставил перед дискретной математикой проблему изучения сложных управляющих систем, в связи с чем в дискретной математике появились новые разделы, такие как теория функциональных систем, теория графов и сетей, теория кодирования, комбинаторный анализ, целочисленное программирование, криптография и т.п. Теория функциональных систем включает в себя алгебру логики; конечнозначную логику; ограниченно-детерминированные (автоматные) функции; вычислимые функции.

Дискретная математика сегодня является не только фундаментом математической кибернетики, но и важным звеном математического образования. Главной задачей курса дискретной математики является обучение методам и мышлению, характерным для дискретной математики. Материал курса дискретной математики подобран таким образом, чтобы сократить число необходимых понятий до минимума и, с другой стороны, дать небольшое количество (10–15) серьезных теорем с непохожими доказательствами, а также познакомить с применениями понятия алгоритма, владение которым особенно важно для специалистов в области прикладной математики.

В основу данного курса дискретной математики положен курс, который впервые был прочитан С.В. Яблонским (научным руководителем лектора данного курса) на механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова в 1964 году, с определенными изменениями, связанными с течением времени, бурным развитием вычислительной техники и появлением новых и новых специальностей, для которых дискретная математика является обязательным курсом.

В рабочую программу курса дискретной математики включены следующие разделы:

1. Элементы теории множеств.

2. Элементы комбинаторики.

3. Алгебра логики.

4. Синтез управляющих систем.

5. Теория графов.

6. Элементы математической логики.

7. Конечнозначная логика.

8. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции.

9. Вычислимые функции.

10. Теория кодирования.

11. Криптография.

Первые пять разделов читаются в первом семестре, остальные разделы – во втором.