4.3. Основные понятия и определения

Функции, реализуемые схемой, определяются следующим образом:

1) Каждому входу схемы сопоставляется функция, равная переменной, приписанной этому входу;

2) Пусть всем вершинам, к которым присоединены входы элемента Е схемы, уже сопоставлены функции. Тогда выходу этого элемента E сопоставляется функция φ_Е (f⁽¹⁾,…,f^(r)), где f⁽ⁱ⁾ (1 ≤ i ≤ r) – функция, сопоставленная той вершине, с которой соединен i-й вход элемента Е.

В результате этого процесса каждой вершине схемы будет сопоставлена некоторая функция.

Определение. Схему с n входами, выходам которой приписаны числа 1,…, m, будем называть (n, m) – схемой.

Пример функции, реализуемой СФЭ. Пусть функция .

Тогда СФЭ, реализующие данную функцию, выглядят следующим образом:

Определение. Если S – СФЭ, а L(S) – число элементов в схеме S, то L(S) называется сложностью схемы S.

Определение. Если функции всех элементов схемы S принадлежат множеству Б, то будем говорить, что схема S есть схема в базисе Б.

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе Б = (V,&,¬). Элементы, которым сопоставлены функции V, &, ¬, будем называть соответственно дизьюнктором, коньюнктором и инвертором.

Рассмотрим функцию f(x₁, …, x_n). Считается, что схема S, реализующаяf, тем лучше, чем меньше ее сложность L(S). В этих условиях задача ставится так: для каждой функции f требуется найти реализующую ее схему S, на которой L(S) достигает минимума.

Обозначим этот минимум через L(f):

L(f) = – min L(S) по всем схемам S, реализующим функцию f.

Вводим функцию L(n) = max L(f), где max берется по всем функциям от n аргументов.

L(n) = max L(f) – функция Шеннона.

f(x₁, …, x_n)ЄP₂.

Другими словами, L(n) – минимальная сложность СФЭ, реализованной самой сложной функцией среди функций, зависящих от n переменных.

Основная задача синтеза: Найти такой метод синтеза схем, позволяющий для любой функции от n аргументов построить схему S, для которой L(S) близко к L(n), например, L(S)L(n). Такой подход был предложен К.Э. Шенноном в 1949 г. при рассмотрении контактных схем и дан наилучший по порядку метод синтеза контактных схем.

Можно ли любую функцию алгебры логики реализовать схемой?

4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ

Теорема 1. Каждая функция f(x₁, …, x_n) Є P₂ может быть реализована некоторой СФЭ S и притом L(S) ≤ n 2ⁿ⁺¹, где n 1.

Доказательство. При доказательстве этой теоремы используем метод синтеза, основанный на моделировании СДНФ.

Пусть = (₁,…,_n). Рассмотрим конъюнкцию K= x₁^&…&x_n^.

Схема для конъюнкции K, приведенная на рисунке 1, состоит из n инверторов, присоединенных к входам схемы, и цепочки из n–1 конъюнкторов с n входами. Причем i-й вход цепочки присоединяется либо к i-му входу схемы, если_i = 1, либо к выходу i-го инвертора, если _i = 0, так как

при _i =1,

x_i^i =

при _i = 0.

Рис. 1

Очевидно, что L(K) 2n – 1 (1)

Пусть f(x₁, …, x_n) – произвольная функция из P₂ и

f(x₁, …, x_n) = = K…K – ее СДНФ,

где 1  m  2.

Тогда схема S для f строится из m схем для конъюнкций K(1 j  m) и цепочки из m–1 дизъюнкторов (цепочка имеет m входов), объединяющей выходы схем для конъюнкций (рис. 2). Таким образом, учитывая (1), L(S)  (2n–1)m+m–1 = 2nm–m+m–1 = 2nm–1 < 2nm  2n2 = n2L(S)  n2.

S:

Рис. 2

Мы доказали утверждение теоремы для любой функции, не равной тождественно 0.

Функция, тождественно равная 0, может быть реализована схемой, изображенной на рисунке 3, так как &=0. Поэтому при n 1 L(S)  n2, так как L(1) = 2 < 12 = 4. Теорема доказана полностью.

Рис. 3

Замечание. При доказательстве теоремы 1 использовался простейший метод синтеза, основанный на моделировании СДНФ.

Следствие. L(n)  n 2ⁿ⁺¹, где .