1.2. Алгебра множеств

Операции над множествами обладают свойствами, которые отчасти напоминают свойства действий над числами, а отчасти отличны от этих свойств.

1. Для любых множеств Х и Y выполняются равенства

а) Х U Y = Y U X;

б) Х ∩ Y = Y ∩ X

(аналог тождеств х+y = y+x и хy = ух).

2. Для любых трех множеств Х, У, Z выполняются равенства

а) (Х U Y) U Z = Х U (Y U Z);

б) (Х ∩Y) ∩ Z = Х ∩ (Y ∩Z)

(аналог тождеств (х+y)+z = х+(y+z) и (хy)z = х(уz)) ;

в) (Х U Y) ∩ Z = (Х ∩Z) U (Y ∩Z)

(аналог тождества (х+y) z = хz+уz);

г) (Х ∩Y) U Z = (Х U Z) ∩ (Y U Z)

(аналога в обычной алгебре нет).

Пусть все рассматриваемые множества являются частями одного и того же универсального множества U. Дополнение множества Х в множестве U обозначим Х΄, опуская индекс U.

3. Для любого множества Х U имеет место равенство (Х΄)΄= Х.

4. Выполняются равенства Ø΄ = U, U΄ = Ø.

5. Для любых двух множеств Х и Y из U имеем:

а) (Х ∩ Y)΄ = Х΄ U Y΄;

б) (Х U Y)΄ = Х΄ ∩ Y΄.

Отметим, что если Х Y, то Х ∩Y= Х, Х U Y= Y.

Всегда верны равенства

Ø ∩ Х = Ø,

Ø U Х = Х,

Х ∩ Х = Х,

Х U Х = Х.

1.3. Разбиение множества на подмножества

В основе всевозможных классификаций лежит операция разбиения множества на попарно непересекающиеся части.

Определение. Пусть U – некоторое множество и Х_α (α є А) – система подмножеств из U, обладающая следующими свойствами:

а) объединение всех множеств Х_α совпадает с U, т.е. U = Х_α по всем α A;

б) если α ≠ β, то пересечение множеств Х_α и Х_β пусто , т.е. Х_α ∩ Х_β = Ø.

Тогда говорят, что множество U разбито на части Х_α , где α є А.

Пример 4. Множество студентов разбивается на части по первым буквам их фамилий.

Пример 5. Если Х – подмножество в U, то U разбивается на множества Х и Х΄.

Пример 6. Множество всех многоугольников разбивается на множества треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д.

Разбиение на непересекающиеся подмножества встречается при решении производственных задач: детали разбиваются на классы по материалу, из которого они изготовлены, форме и размерам, технологии обработки и т.д.

1.4. Кортежи и декартово произведение множеств

Определение. Пусть даны множества Х₁,…,Х_n. Кортежем длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность α = (х₁,...,х_n), где для всех к, 1≤ к≤ n, имеем х_к є Х_к. Элемент х_к называется к-й координатой (или к-й компонентой) кортежа α.

Пример 7. Из множеств {a,b,c} и {1,2} можно составить 6 кортежей длины 2: (а,1), (а,2), (b,1), (b,2), (с,1), (с,2).

Пример 8. Любое слово является кортежем, составленным из букв; десятичная запись любого натурального числа – кортежем, составленным из цифр, и т.д.

Пример 9. Любое упорядоченное конечное множество является кортежем, все координаты которого различны.

Определение. Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны.

Таким образом, кортежи α = (х₁,...,х_m) и β = (у₁,...,у_n) равны  m = n, причем х_к = у_к для всех к, где 1≤ к≤ n.

Пример 10. Кортежи (1²,2²,3²) и (√1, √16, √81) равны. Кортежи (1,2,3) и (2,3,1) различны.

Координатами кортежа могут быть множества, кортежи и т.д. При этом, например, кортежи ({a,b},c) и ({b,а},c) равны, так как {a,b} = {b,а}. Кортежи ((a,b),c) и ((b,а),c) различны, так как (a,b)≠ (b,а).

Кортеж, не содержащий ни одной координаты (т.е. кортеж длины 0), называется пустым.

Определение. Пусть А₁,…,А_n – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из всех кортежей вида (а₁,…,а_n), где а_к є А_к, 1≤ к≤ n. Декартово произведение множеств А₁,…,А_n обозначают А₁x…xА_n..

Пример 11. Если А= {1,2,3}, B= {x,y}, то АВ = {(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)} и ВА= {(x,1),(х,2),(х,3),(y,1),(у,2),(y,3)}.

Этот пример показывает, что декартовы произведения АВ и ВА различны, хотя они содержат поровну элементов.

Различны и множества АВС, (АВ)С и А(ВС) – первое состоит из троек (a,b,c), второе – из пар вида ((a,b),c), а третье – из пар вида (a,(b,c)), где во всех трех случаях а є А, b є В, c є C.

Если хотя бы одно из множеств А, В пусто, то считают, что и их декартово произведение пусто: АØ = ØВ = ØØ = Ø.