1. Методы учета фактора времени в финансовых операциях

Одной из базовых концепций финансового менеджмента является концепция временной стоимости денег (Time value of money), разработанная И. Фишером. Она гласит: сегодняшние поступления ценнее будущих. Соответственно, будущие поступления менее ценны, чем текущие.

Фактор времени учитывают с помощью методов наращения и дисконтирования.

Наращение - увеличение первоначальной суммы за счет начисленных процентов. Метод наращения позволяет определить будущую величину (future value – FV) современной стоимости (present value – PV) через некоторый промежуток времени n, исходя из заданной процентной ставки (или ставки роста) r ( interest rate).

Дисконтирование – способ определения современной стоимости (PV) по ее известному или предполагаемому значению в будущем (FV). Дисконтирование – операция, обратная наращению, с использованием процентной ставки (нормой дисконта) r.

В качестве процентной ставки r используют:

• Стоимость заемных денежных средств.

• Норму доходности производимых операций (отношение полученной прибыли к величине вложенных средств).

• Альтернативную стоимость капитала.

В зависимости от условий проведения финансовых операций проценты бывают простые, сложные или непрерывные.

Наращение

Простые проценты

Будущую стоимость (FV) рассчитывают по формуле:

,

(1)

где PV – современная стоимость; n – число периодов (лет); r – процентная ставка.

Это выражение называют формулой наращения по простым процентам, а множитель (1 + nr) – множителем наращения простых процентов.

Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году. В этом случае базой для исчисления процентов за каждый период является первоначальная сумма сделки.

Если продолжительность операции меньше года, будущую стоимость определяют как:

,

(2)

где t – число дней проведения операции; 360 (или 365) – число дней в году.

Если в финансовой операции используют 360 дней (условного или финансового года), такие проценты называют обыкновенными (или коммерческими). Если используют фактическое число дней в году (365), такие проценты называют точными. Обыкновенные проценты используют в аналитических расчетах и в большинстве развитых стран (в т.ч. США и Европе). Точные проценты применяют в РФ.

Сложные проценты

Сложные проценты применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год, либо менее 12 месяцев в том случае, когда база для исчисления процентов за период включает в себя исходную сумму сделки и сумму накопленных к этому времени процентов.

При наращении по сложным процентам полученные доходы реинвестируются (капитализируются).

Формула для определения будущей стоимости:

.

(3)

Величину называютмножителем наращения сложных процентов, его значение приводят в специальных таблицах.

Если проценты начисляются m-раз в году, будущую стоимость рассчитывают как:

,

(4)

Условия финансовых операций с различными периодами начисления процентов сравнивают при помощи эффективной процентной ставки (EPR - effective percentage rate) или ставки сравнения¹⁵. Она показывает соответствующую процентную ставку в ее годовом эквиваленте:

,

(5)

где r – номинальная ставка (или APR - annual percentage rate); m – количество периодов начисления процентов в году.

В свою очередь, если известна величина EPR, номинальную ставку процентов r определяют как:

.

(6)

Дисконтирование

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

• Математическое, где в качестве нормы приведения используют ставку наращения r.

• Коммерческое (банковский учет), где в качестве нормы приведения используют учетную ставку d.

Математическое дисконтирование

Оно представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы.

Простые проценты

Формула для определения современной стоимости:

.	(7)
D = FV – PV .	(8)

где D – дисконт.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Величину процентной ставки r определяют по формуле:

.

(9)

Срок операции в днях определяется как:

.

(10)

Сложные проценты

Формула для определения современной стоимости:

.

(11)

Величину 1/называютдисконтным множителем, его значение приводят в специальных таблицах.

Если начисление процентов осуществляется m–раз в году, современную стоимость рассчитывают как:

.

(12)

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Сложную процентную ставку определяют по формуле:

.

(13)

Продолжительность операции определяется путем логарифмирования:

.

(14)

Банковский или коммерческий учет

Этот метод дисконтирования применяется при банковском учете векселей. Суть данного метода заключается в том, что проценты (учетная ставка d) начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции (FV). Чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.

Простая учетная ставка

Текущая сумма определяется по формуле:

(15)

Количество дней в году принимают равным 360 или 365 дней.

Учетную ставку d применяют также для наращения, например в случае определения будущей суммы контракта (номинала векселя). Формула определения будущей величины имеет следующий вид:

.

(16)

Сложная учетная ставка

(17)

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Величину учетной ставки d определяют по формуле:

.

(18)

Срок операции в днях определяется как:

.

(19)

Эквивалентность простых процентных ставок r и d

Принцип эквивалентности процентных ставок используют при сравнении условий сделок, замене одного вида ставок на другой, определении эффективности операций и т.д.

Две различные процентные ставки считаются эквивалентными, если их использование при одинаковых условиях сделки приводит к одному и тому же финансовому результату.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве множителей наращения:

.

(20)

Соотношения эквивалентности имеют следующий вид в случаях, когда:

а) Временная база ставок одинакова и равна 360 или 365 дней

.	(21)
	(22)

б) Временная база ставки r равна 365 дням, а d – 360 дням

,

(23)

В практике финансового управления более важную роль играют сложные проценты, которым в дальнейшем и будет уделено основное внимание.

Непрерывные проценты

Непрерывные проценты используются в случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени.

Будущую стоимость денег при непрерывном начислении определяют как:

,

(24)

где е – экспоненциальная константа (2,71828….).

Современную стоимость денег при непрерывном начислении определяют как:

.

(25)

Эквивалентность сложных и непрерывных ставок

Ставка непрерывных процентов r_c может быть приведена к ставке сложных процентов r_d и обратно. Соотношения эквивалентности имеют следующий вид:

,	(26)
.	(27)