96

вариационным рядом, а сами значения признака называют нередко

вариантами.

6.5. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно распределение частот некоторого количественного признака Х. Обозначим через nx число опытов, при которых наблюдалось значение признака Х, меньшее х, то есть частоту события Х < x, n – общее число наблюдений (объем выборки).

Эмпирической функцией распределения (или функцией распре-

деления выборки) называется функция

F (x) = nnx ,

равная для каждого значения Х относительной частоте события Х < х. В отличие от F (x) интегральную функцию распределения гене-

ральной совокупности F(x) называют теоретической функцией распределения. F(x), как известно, определяет вероятность, то есть степень возможности осуществления события X < x.

Поэтому эмпирическая функция распределения используется для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности, это аналог последней в статистике.

Свойства F (x).

1.O ≤ F (x)≤1.

2.F *(x)- неубывающая функция.

3.Если х- наименьшее из наблюдавшихся значений признака, то при X < x

F (x) = 0; если х - наибольшее значение признака, то при Х >x F (x) =1. Пример. Построить эмпирическую функцию распределения по

данному статистическому распределению выборки :

xi -3 1 6 10

ni 10 12 18 20

Найдем объем выборки n = ∑ni = 60.

97

Относительные частоты, соответствующие наблюдавшимся значениям признака, будут равны

График F (x) показан на рисунке. Эмпирическая функция распределения всегда ступенчатая. Как видно, эмпирическая функция распределения может быть построена как нарастающая сумма относительных частот.

98

6.6. Полигон и гистограмма частот

Для наглядности в статистике часто пользуются геометрической интер-претацией статистического распределения выборки, строя, так называемые, полигон и гистограмму частот (или относительных частот).

Для построения полигона частот (или относительных частот) при дискретном распределении признака по оси абсцисс откладывают значения признака хi , а по оси ординат – частоты ni (или соответственно относительные частоты Wi ). Точки с координатами (xi , ni) (или (xi , Wi)) соединяют отрезками прямых. Полигон частот дает представление о том, насколько часто встречаются те или иные значения исследуемого признака.

Пример. Для распределения

полигон относительных частот имеет вид, показанный на рисунке.

Полигон относительных частот – это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей.

Если исследуемый признак – непрерывная случайная величина, то целесообразно строить гистограмму частот. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдавшиеся значения признака, делят на ряд частичных интервалов одинаковой длины∆. Далее находят ni - сумму частот значений признака, попавших в i - ый частичный интервал, и строят

99

ступенчатую фигуру из прямоугольников с основанием, равным∆, и площадью, равной ni.

Если значения признака совпадают с границей интервала, то их включают в сумму частот значений признака, принадлежащих соседним интервалам с частотами, равными половине частоты этого признака.

Полученный график называется гистограммой частот.

Площадь гистограммы частот равна сумме частот всех наблюдавшихся значений признака, то есть объему выборки.

Гистограмма относительных частот строится точно также, отличаясь от гистограммы частот лишь масштабом по оси ординат, а именно, по оси ординат откладывается плотность относительной частоты Wi / ∆. Поэтому площадь i –го прямоугольника будет равна Wi – относительной частоте значений признака, попавших в i – ый интервал, а площадь гистограммы относительных частот будет равна сумме всех Wi , то есть единице.

Число интервалов r гистограммы определяют приближенно по формуле Старджесса для выборки объема n (округляя r до ближайшего целого значения):

100

Построить гистограммы частот и относительных частот этого распределения.

Как видно из таблицы, наименьшее значение диаметра-15,20 мм, наи-большее-15,60 мм, длина этого промежутка - 0,4 мм. Число частичных интервалов принимаем по правилу Старджесса, равным восьми. Подсчитываем число значений признака, попадавших в каждый интервал. Для построения гистограмм частот (и относительных частот) составим таблицу 5.

Соответствующие гистограммы изображены на рисунке.

101

При увеличении объема выборочной совокупности гистограмма относительных частот приближается к дифференциальному закону распределения признака в генеральной совокупности, то есть гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности вероятностей f(x) непрерывной случайной величины.

102

7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

7.1. Точечные оценки

Любое значение неизвестного параметра, от которого зависит закон распределения случайной величины, вычисленное по опытным данным, всегда является приближенным.

Оценкой параметра и называется в статистике его приближенное случайное значение, вычисленное на основе ограниченного числа опытов. Если оценка параметра характеризуется одним числом, то она называется

точечной.

Пусть из генеральной совокупности произведена выборка объема n для изучения некоторого признака Х. Обозначим неизвестный параметр теоретического распределения интересующего нас признака объектов генеральной совокупности через θ . Требуется по данным выборки найти “подходящую” оценку θ для параметра θ .

lim P(θ −θ <ε)=1.

n→∞

Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной .

завышения действительного значения оцениваемого параметра, то есть, чтобы M (θ ) =θ .

Оценка θ , математическое ожидание которой равна оцениваемому параметру, называется несмещенной.

103

3. Оценка θ должна обладать по сравнению с другими возможными оценками наименьшей дисперсией: D(θ ) = min.

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной. Ниже рассмотрены повторные и бесповторные выборки и точечные

оценки генеральной средней и генеральной дисперсии, удовлетворяющие указанным требованиям.

7.2. Оценка генеральной средней повторной выборки

Пусть распределение признака Х в генеральной совокуп ности характе-ризуется таблицей 3. Для оценки неизвестной генеральной средней Х производится повторная выборка объема n. При этом каждый отобранный объект вновь возвращается в генеральную совокупность и, следовательно, состав ее восстанавливается. Поэтому результат отбора любого объекта в выборку не будет влиять на результаты следующих отборов, то есть справедлива схема независимых повторяющихся испытаний.

Пусть Xi - случайная величина, значение которой совпадает со значением интересующего нас признака xi при i-ом наблюдении ( i = 1,2 ...

n ). Величины Хi можно рассматривать как n независимых и одинаково распределенных случайных величин с параметрами

M (X i ) = x0 , D(Xi ) =σ02 .

Если все Xi различны, то для опре деления генеральной средней используется в качестве оценки средняя арифметическая наблюдавшихся значений xi :

m

значения с частотами ni, причем ∑ni = n , то

i=1

Выборочная средняя является статистическим аналогом математического ожидания случайной величины в теории вероятностей.

1. Так как величины Хi удовлетворяют условиям теоремы Чебышëва (они независимы, их дисперсии ограничены одной и той же по-

выборок достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности выборочные средние будут практически совпадать между собой. В этом проявляется, так называемое, свойство устойчивости выборочных средних.

2.Выборочная средняя xв является несмещенной оценкой x0, так как

3. Можно показать также, что xв является эффективной оценкой, и при увеличении объема выборки закон распределения величины xв , как суммы одинаково распределенных независимых случайных величин, приближается к нормальному закону распределения с параметрами

Поэтому

105

7.3. Оценка генеральной средней бесповторной выборки

Пусть, как и выше, Yi – случайная величина, значение которой совпадает со значением интересующего нас признака yi при отборе i- го элемента.

Так как выбор каждого отдельного элемента по схеме бесповторной

Выборочной средней бесповторной выборки называется средняя арифметическая значений yi :

yв = 1∑n yi ,

n i=1

Оценка yв - несмещенная оценка генеральной средней y0, так как

Можно показать, что дисперсия выборочной средней равна

D(yв ) = σ02 N − n . n N −1

Так как величины Yi зависимые, то условия применимости теоремы Чебышëва к последовательности случайных величин {Yi } не соблюдаются. Применяя поэтому к выборочной средней неравенство Чебышëва, можно записать

106

Так как объем генеральной совокупности N, как правило, весьма большой, то

Замечание. Сопоставляя формулы (7.2) и (7.4) можно заключить, что средние квадратичные отклонения выборочной средней бесповторной выборки всегда меньше аналогичной характеристики повторной выборки того же объема. Следовательно, бесповторная выборка точнее повторной выборки того же объема. Но различие между ними существенно лишь, если объем выборки велик по сравнению с объемом генеральной совокупности N. В противном случае точечные оценки параметров распределения для повторной и бесповторной выборок практически совпадают.

7.4. Определение генеральной дисперсии 7.4.1. Повторная выборка

Если в выражениях для дисперсии случайной величины Х

D(X) = M[X − M(X)]2 = M(X 2 ) − M 2 (X)

заменить математическое ожидание его аналогом в статистике - выборочной средней xв , то получим статистический аналог дисперсии:

Величина D (X) называется выборочной дисперсией.

107

Если значения признака x1, x2 ,...,xm повторяющиеся с частотами

правой части формулы (7.5) – среднее арифметическое n значений xi2 и, следовательно, сходится по вероятности к M(X 2 ), поэтому

lim P(D (X)− D(X) < ε) =1.

n→∞

Можно показать, что

M (D )=σ02 n n−1.

Следовательно, D - смещенная оценка параметра σ02 . Ее использование приводит к систематической ошибке в определении генеральной дисперсии, давая заниженное значение σ02 .

или для случая, когда имеются повторяющиеся значения признака

108

Очевидно, исправленная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности. На практике ею пользуются, если

n < 30. При бóльших n, естественно, обе оценки (7.5) и (7.6) отличаются друг от друга очень мало.

Оценка D в общем случае не является эффективной. Однако для наиболее распространенного на практике нормального закона она оказывается асимптотически эффективной (то есть при больших n отношение ее дисперсии к минимально возможной дисперсии неограниченно приближается к единице).

7.4.2. Бесповторная выборка

Как и для повторной выборки, можно показать, что величина

является смещенной оценкой генеральной дисперсии при бесповторной выборке:

M(D1 )= nn−1 NN−1σ02 .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии при этом будет исправленная дисперсия

D1 = n n−1 NN−1 D1 .

неизвестными параметрами, иначе бы отпала необходимость в применении выборочного метода. Чтобы преодолеть это противоречие на практике, в

109

формулах для дисперсий величин xв, yв генеральную дисперсию σ02 заменяют выборочной (или исправленной) дисперсией.

Рассмотрим примеры определения точечных оценок.

Пример. При обработке наружного диаметра 15 карданных валов были получены следующие размеры в мм (см. таблицу 6). Определить несмещенные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения диаметров, полагая, что обработанные диаметры имеют нормальное распределение.

Результаты вычислений представлены в таблице 6.

Таблица 6