138

Сумма всех частот (общее число наблюдений) равна

и помещается в правом нижнем углу таблицы.

Общие средние арифметические переменных x и y равны соответст-

венно

Корреляционная таблица наглядно показывает распределение значения Y для каждого значения X (и наоборот) и является статистическим аналогом таблицы распределения вероятностей системы двух случайных величин.

Рассмотрим, например, распределение значений Y при X =xj (см. таблицу 13)

вполне определенное значение условной средней y j переменной Y, то есть

139

y j = f (x). Следовательно, статистическая зависимость между y j и X яв-

ляется корреляционной.

Аналогично, средняя арифметическая всех наблюдавшихся значений X при условии Y = yi называется условной (групповой) средней переменной X для данного значения yi :

t

∑x j ni j

причем xi =ϕ(y).

Условные средние являются статистическим аналогом условных математических ожиданий в теории вероятностей.

Уравнение yj = f (x) называется выборочным (или эмпирическим)

уравнением регрессии Y на X, функция f(x) называется выборочной регрессией Y на X, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X.

Аналогично, уравнение xi =ϕ(y) называется выборочным уравнением регрессии X на Y; функция ϕ(y) - выборочной регрессией X на Y, а ее график

– выборочной линией регрессии X на Y .

Двумя основными задачами теории корреляции являются:

- изучение зависимости условных средних y j от X ( и соответственно xi от Y), то есть установление вида функции регрессии,

- оценка силы (тесноты) корреляционной зависимости между величинами

X и Y.

10.2. Отыскание приближенной линии регрессии по эмпирическим данным

Отметим, прежде всего, одно важное свойство линии регрессии. Можно показать, что справедлива следующая теорема: среднее значение суммы квадратов отклонений ∆ величин yi от выборочной линии регрессии y j = f (x) меньше, чем от графика любой другой функции.

По опытным данным можно построить эмпирическую (“истинную”) линию регрессии, но она представляет собой ломаную линию, и уравнение еë для практического использования непригодно. Поэтому обычно строят