147
X |
-1 |
0,7 |
1,5 |
4 |
|
|
|
|
|
P |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
… |
|
|
|
|
|
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Z= 2X 2 −1,5X .
9.Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.
10.Плотность вероятностей случайной величины X равна
|
|
0 |
при |
x < 0, |
f (x) = |
(2a − x)/ 2a2 |
при |
0< x < 2a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
x > 2a. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Найти интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и
ве-
роятность P(a<X<1,5a).
11.Диаметр детали - нормально распределенная случайная величина с параметрами: a = 75мм, σ = 2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 74 мм до 76,4 мм; отличается от "a " не более, чем на 1,4 мм. Какое отклонение диаметра от "a " можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей ?
ВАРИАНТ 2
1.В партии из 7 деталей 5 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что среди них 2 детали стандартны?
2.В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соответственно равны 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу у одного из товарищей.
3.Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов электрической цепи p =0,95. Найти вероятность работы цепи.
148
4.Часы изготавливаютcя на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всей продукции, второй - 35%, третий - 25%. Из продукции первого завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
5.Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее шести выдержат нагрузку ?
6.Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.
7.Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х - числа работающих элементов в одном опыте.
8.Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X 2 + 2Y .
Х |
0,4 |
0,6 |
1,25 |
2 |
|
Y |
0,5 |
1,5 |
2 |
Р |
0,25 |
0,15 |
0,2 |
… |
|
P |
0,4 |
0,1 |
… |
9. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.
10.Плотность вероятностей случайной величины Х равна
|
|
0 |
при |
x <1, |
f (x) = |
с(x2 −1) |
при |
1< x < 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
x > 2. |
|
|
|
|
|
Найти коэффициент "с", интегральную функцию распределения F(x),
M(X), D(X) и вероятность P(1,5<X<2).
11. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
149
(проектная длина) a =120 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 116,5 мм и не более 123,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 117,2 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99?
ВАРИАНТ 3
1.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся три женщины.
2.Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем или четвертом ящиках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что нужная деталь содержится не менее чем в двух ящиках.
3.Найти вероятность безотказной работы электрической цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна P=0,9.
4.На автобазе имеется 80 грузовых и 20 легковых автомашин. Вероятность того, что грузовая машина неисправна, равна 0,08, а легковая - 0,05. Найти вероятность того, что наудачу по номеру вызванная автомашина окажется исправной.
5.Произведено 12 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не менее двух промахов в цель.
6.Событие B появится в том случае, если событие A наступит не менее 150 раз. Найти вероятность появления события B, если произведено 200 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность поя в- ления события A равна 0,7.
7.На складе имеются 8 покрышек, из них 3 - изношенных. Наудачу отобраны 3 покрышки. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа годных покрышек среди отобранных.
8.Случайная величина X задана рядом распределения. Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию величины Z = 2X − 3X 2.
|
|
150 |
|
|
|
|
X |
|
0,5 |
|
1 |
|
2 |
-0,3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,2 |
0,2 |
|
0,25 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия; менее трех.
9. Плотность вероятностей случайной величины Х равна
|
0 |
при |
x <1, |
|
|
при |
1< x < 3, |
f (x) = a(x −1) |
|||
|
0 |
при |
x > 3. |
|
|||
Найти коэффициент "а", интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(1<X<1,5).
11.Aвтомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a =135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131< X < 139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от "а" можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?
ВАРИАНТ 4
1.В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.
2.ОТК проверяет изделия на соответствие стандарту. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,8, второе - 0,9, третье - 0,95. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартно; хотя бы одно стандартно.
3.Электрическая цепь состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, работающих независимо. Вероятности работы каж-
дого из элементов равны P1 = 0,95, P2 = 0,90, P3 = 0,85, P4 = 0,75, P5 = 0,80. Найти вероятность работы цепи.
151
4.В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй - 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
5.Вероятность безотказной работы каждого из семи независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что выйдут из строя не более трех элементов.
6.Испытывается каждый из 120 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание ровно 110 элементов; более 110 элементов.
7.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки.
8.Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения
X |
-2 |
0,5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Y |
-3 |
2 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
P |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
… |
|
|
|
|
|
|
P |
0,3 |
0,2 |
… |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти дисперсию случайной величины Z = 2X2 −1,5Y.
9.Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной
бракованной.
10.Плотность вероятностей случайной величины X равна
|
|
0 |
при |
x < 0, |
f (x) = |
сx3 |
при |
0< x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
x >1. |
|
|
|
|
|