90

Часть вторая

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В В Е Д Е Н И Е

Математические законы теории вероятностей отражают реальные закономерности, существующие в массовых случайных явлениях природы. Теория вероятностей позволяет определить теоретическим путем вероятностные характеристики одних явлений по известным характеристикам других, найденным в результате опыта, и тем самым прямо или косвенно опирается на экспериментальные данные.

Предметом математической статистики как науки и является разработка методов регистрации и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, на предельных теоремах которой базируется большинство ее выводов.

Математическую статистику нередко определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Объясняется это тем, что, например, для определения закона распределения случайной величины необходимо располагать большим количеством опытных данных. Но на практике из-за сложности постановки и проведения экспериментов, их дороговизны, ограниченности сроков исследования объем необходимой информации может быть весьма ограниченным. Методы математической статистики позволяют, тем не менее, с оцениваемой точностью получить необходимые сведения об изучаемых величинах по имеющейся неполной ограниченной информации.

В зависимости от характера решаемых практических задач и объема имеющихся экспериментальных данных различают следующие основные задачи математической статистики:

1. Оценка неизвестного закона распределения случайной величины.

Она ставится так: известно, какие значения принимает случайная величина в результате опытов. Требуется оценить неизвестную функцию распределения.

2. Оценка неизвестных параметров распределения.

91

Нередко из-за крайне ограниченного объема опытных данных задача оценки неизвестного закона распределения исследуемой случайной величины вообще не ставится. С другой стороны, характер закона распределения качественно может быть известен еще до опытов. Например, если удовлетворяются условия теоремы Ляпунова, можно утверждать, что случайная величина подчинена нормальному закону, параметры которого – математическое ожидание и дисперсия – неизвестны.

Поэтому вторая задача ставится так: известна функция распределения случайной величины с точностью до k неизвестных параметров, от которых она зависит. Требуется по данным наблюдений случайной величины найти эти параметры.

3. Проверка правдоподобия статистических гипотез.

На основании некоторых соображений можно предположить, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Требуется выяснить, совместима ли принятая гипотеза о распределении Х с наблюдаемыми в опытах значениями случайной величины, то есть действительно ли F(x) будет функцией распределения случайной величины.

Содержание математической статистики далеко не исчерпывается вышеперечисленными основными задачами. Ввиду большой важности для практических приложений в математической статистике развиваются и та-

кие разделы, как корреляционный анализ и регрессионный анализ (изучаю-

щие зависимость между случайными величинами), дисперсионный анализ (выявляющий влияние значимости отдельных качественных факторов на результат эксперимента), дискриминантный анализ (решающий задачу различения, то есть позволяющий определить, основываясь на результатах наблюдений, какой из нескольких возможных совокупностей принадлежит объект, случайно извлеченный из одной из них), последовательный анализ (разрабатывающий способы определения числа необходимых испытаний в ходе исследования), теория планирования многофакторных экспериментов, статистический анализ случайных процессов и др.

В настоящем пособии рассмотрены основные понятия математической статистики, наиболее часто используемые и определяемые в процессе статистической обработки опытных данных. Даны 30 вариантов домашнего задания для самостоятельной работы студентов.

92

6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

6.1. Понятие о выборочном методе Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется найти распределение некоторого качественного или количественного признака, характеризующего совокупность однородных объектов. Исследуемый признак - это случайная величина, значение которой от объекта к объекту меняется. Чтобы составить представление о распределении признака или о параметрах этого распределения, проводят либо сплошное изучение объектов совокупности, либо, чаще, случайным образом отбирают для изучения из всей совокупности только ограниченное число объектов.

Например, при контроле качества некоторой партии автомобилей (или отдельных их агрегатов: двигателя, кузова и т.п.) контроль каждого автомобиля в отдельности, очевидно, даст наилучший эффект. Но, с другой стороны, такой контроль будет весьма длительным и дорогостоящим, если размер партии велик. Кроме того, суждение о качестве может быть связано с физическим уничтожением объекта, например, при испытаниях автомобиля на прочность или на пассивную безопасность (испытаниях на фронтальное столкновение с жесткой преградой, на удар сзади, боковой удар, на опрокидывание) или при определении ресурса работы двигателя, износостойкости отдельных узлов и т. п., так что до потребителя объект уже не дойдет. Поэтому о качестве партии автомобилей судят по результатам испытаний относительно малой совокупности автомобилей, определенным случайным образом отобранных из всей партии.

Выборочной совокупностью (или просто выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность однородных объектов, из которой по определенному правилу производится выборка.

При этом, чтобы по данным выборки можно было надежно судить о характеристиках всей партии изделий, необходимо, чтобы выборка была образована случайно и была репрезентативной (представительной), то есть правильно отражала пропорции генеральной совокупности. Согласно

93

закону больших чисел, по мере увеличения объема выборки ее характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.

6.2. Характеристики генеральной совокупности

Пусть распределение признака объектов задано таблицей 3.

совокупности называется генеральной средней. Если все значения признака xi различны, то

Дисперсия σ 02 распределения признака в генеральной совокупности называется генеральной дисперсией и равна:

94

6.3.Классификация выборок

Взависимости от способа отбора объектов различают: собственно случайную повторную выборку, собственно случайную бесповторную выборку, типическую, механическую и серийную выборки.

Собственно случайная повторная выборка образуется следую-

щим образом: из генеральной совокупности случайно выбирается один элемент; после изучения он возвращается в генеральную совокупность и результаты фиксируются; затем снова случайным образом извлекается один элемент и после изучения возвращается обратно. Так производится n извлечений. В результате образуется выборка объема n, в которой один и тот же элемент может встречаться несколько раз.

Собственно случайная бесповторная выборка. При образовании этой выборки, в отличие от повторной, отобранный элемент обратно не возвращается. Выборка без повторений образуется также, если из генеральной совокупности сразу взято нужное число элементов.

Типическая выборка формируется так: генеральная совокупность разбивается на непересекающиеся группы. Затем из каждой группы по схеме повторной или бесповторной выборок отбирают определенное число элементов, которые в совокупности и образуют типическую выборку. Например, для контроля качества продукции цеха, в котором работают 100 станков, производящих однотипную продукцию, можно отбирать часть изделий от каждого станка. Все изделия, отобранные от 100 станков, в совокупности образуют типическую выборку.

Механической называется выборка, которая получается при деле - нии генеральной совокупности на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и отборе из каждой группы по одному объекту. Примером механической выборки может служить 10%-ая выборка деталей со станка такая, что каждая десятая деталь со станка идет на проверку ( при этом нужно, чтобы интервалы переналадки станка не были бы кратными

95

интервалам, через которые отбирают детали, иначе в выборке могут оказаться только наиболее точно изготовленные детали или наоборот).

Серийная выборка формируется следующим образом: генеральная совокупность разбивается на непересекающиеся группы (серии). Затем случайным образом отбираются серии, все элементы которых в совокупности образуют серийную выборку. Например, для контроля качества продукции цеха, в котором работают 100 станков, производящих однотипную продукцию, можно случайным образом (по схеме повторной или бесповторной выборок) отобрать, например, 15 станков, вся продукция которых и составит серийную выборку.

6.4. Вариационный ряд. Варианты

Пусть произведена выборка объема n из генеральной совокупности и получены значения признака x1, x2, … xm , причем значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 − n2 раз и т. д. Очевидно,

m

∑ni = n.

i=1

Составим таблицу, в первую строку которой поместим наблюдавшиеся значения признака Х, расположенные в возрастающем порядке, а во

(i =1,2,...,m).

i=1

законом распределения признака Х или статистическим распределени-

ем выборки.

Эмпирический закон распределения признака является статистическим аналогом теоретического закона распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей. Совокупность значений признака, расположенных в порядке их возрастания, называется в статистике