|
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi − xв )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ = D = |
= 0,00907 = 0,095. |
||||||||||
99 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому
ε = |
tσ |
|
≈ |
1,96 0,095 |
= 0,021, |
xв −ε =15,392, |
xв + ε =15,430 и |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
100 |
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
15,392< x0 <15,430.
Пример. Определить необходимый объем повторной и бесповторной выборок для определения средней продолжительности горения электрических лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 предельная ошибка выборки не превышала 50 часов. Объем всей партии лампочек – 5000 шт. Генеральное среднее квадратическое отклонение принять равным 150 часов.
По условию ε = 50, σ = 150, N = 5000, γ = 0,99, следовательно, Φ(t)= γ2 = 0,495 и t=2,58.
n |
повт . |
= |
t2σo2 |
= 59,9; |
n |
бесп. |
= |
t2σo2 |
|
≈ 59,2. |
|
ε2 |
ε2 + t2σo2 |
/ N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Итак, выборки должны содержать не менее 60 лампочек.
7.8.Малая выборка
7.8.1.Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при
неизвестном среднем квадратическом отклонении
До сих пор объем выборочной совокупности предполагался достаточно большим. Поэтому оценки генеральной средней считались распределенными по нормальному закону. Однако на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема (n < 20 - 30). Оказывается, что заключения, аналогичные полученным при рассмотрении выборок большого объема, возможны и в случае малых выборок, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак распределен по нормальному закону.
118
Пусть имеется генеральная совокупность практически неограниченно большого объема N, из которой образуется малая выборка объема n. В этом случае бесповторная выборка практически совпадает с повторной, так
как величины 1− |
|
n |
|
и |
|
N −1 |
|
очень мало отличаются от единицы. |
||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
N |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Среднее квадратическое отклонение выборочной средней xв можно |
||||||||||||||||||||||||||||||
записать в виде |
σпв.(xв )= |
σ |
|
|
, |
где σ |
2 |
= |
|
|
|
1 |
|
∑n (xi − xв )2 |
- исправленная |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1i=1 |
|
|
|
|||||||
дисперсия малой выборки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Рассмотрим случайную величину |
T = |
xв |
− xo |
(ее возможные значе- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σпв. |
|
|
|
||
ния будем обозначать через |
t). |
Можно доказать, |
что величина T ра с- |
|||||||||||||||||||||||||||
пределена по закону Стьюдента с k = n-1 |
|
степенями свободы. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Плотность вероятностей распределения Стьюдента равна |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
−n / 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(t, n)= Bn 1+ |
n −1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞e−ttx−1d t - гамма-функция. |
||||||||||||
B = |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Г(x)= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π(n −1) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Г |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В частности, при целочисленном аргументе |
|
Г(n +1) = n! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Распределение Стьюдента определяется одним параметром |
k = n −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
- числом степеней свободы и не зависит от неизвестных a |
и σ, |
что явля- |
||||||||||||||||||||||||||||
ется его большим достоинством.
Для закона распределения Стьюдента математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
M(k) = 0 |
при |
k ≥ 2, |
||
D(k) = |
1 |
при |
k ≥ 3. |
|
k − 2 |
||||
|
|
|
||
119
Кривые распределения f (x) при различных значениях k показаны на рисунке.
Как видно, кривые распределения Стьюдента по форме напоминают плотность нормального распределения, но при x → ∞ значительно мед - леннее приближаются к оси абсцисс. При k → ∞ распределение Стьюдента приближается к нормальному.
Распределение Стьюдента играет большую роль в так называемой микростатистике (статистике малых выборок).
Как известно, если плотность вероятностей ƒ(x) – четная функция, и концы интервала симметричны относительно начала координат, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( |
|
x |
|
<α)= 2∫ f (x)dx. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Так как функция S (t, n) |
четная по аргументу t, то |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
в |
− x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
< tγ = 2∫S(t,n)dt =θ(n,tγ )=γ |
|||||||||||||||
|
|
|
пв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tγ |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tγσ |
|
|
(n,tγ )=γ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< xo |
< xв |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P xв − |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
=θ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
Величины θ(tγ ,n) |
|
и tγ табулированы. Пользуясь таблицами распреде- |
|||||||||||||||||||||||
ления Стьюдента, по заданным |
|
|
n и |
γ |
можно найти tγ (см. Приложение |
||||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tγσ |
|
|
|
|
|
|
|
tγσ |
|
|
|||
Итак, доверительный интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, xв + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Iγ = xв − |
|
n |
|
|
|
|
с надеж- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
ностью γ накрывает неизвестное математическое ожидание |
xв . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
Произведено 8 независимых опытов над случайной вели- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чиной X, распределенной нормально с неизвестными параметрами |
x0 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
σ0 . Результаты опытов приведены ниже. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Построить доверительный интервал для математического ожидания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 с надежностью γ = 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По данным опытов находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑xi ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
xв = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ni (xi |
|
− xв )2 |
=1,71. |
|
|||||||||||||||||
|
|
= |
3,0, |
|
|
|
|
σ = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По таблице Приложения 3 для n = 8 |
|
и γ = 0,95 |
находим |
|
tγ = 2,37. |
По- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
этому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tγσ |
|
|
|
|
2,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tγσ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xв − |
|
= |
3 |
− |
1,71 |
|
=1,904, |
|
|
|
xв + |
|
= |
4,096. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
xo с надежностьюγ = 0 ,95 заключено в интервале |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,904<xo <4,096.
Пример. Для определения скорости автомобиля было проведено 5 испытаний, по результатам которых вычислена средняя скорость v = 27,8 м/с. Найти 95%-ый доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 0,4 м/с.
При n = 5 и γ = 0,95 по таблице Приложения 3 находим tγ = 2,78. Вычисляя границы доверительного интервала, получим:
vв − |
tγσ |
= 27,8 |
− |
2,78 0,4 |
= 27,3, |
vв + |
tγσ |
= 27,8 + |
2,78 0,4 |
= 28,3. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
5 |
|
|
n |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||