85

5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предельные теоремы делятся на две группы. Теоремы первой группы, объединенные общим названием “закон больших чисел”, устанавливают условия, при которых среднее арифметическое случайных величин приближается к некоторым неслучайным (детерминированным) величинам.

Теоремы второй группы, объединенные общим названием “центральная предельная теорема”, устанавливают условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному закону.

5.1. Закон больших чисел

Как показывает опыт, при некоторых сравнительно широких условиях сумма достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает характер случайной величины и может быть предсказана с большой степенью определенности. Это, так называемое, свойство устойчивости массовых случайных явлений объясняется тем, что случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном опыте, в массе опытов взаимно погашаются. Именно эта устойчивость средних значений и составляет физическое содержание закона больших чисел.

Основными теоремами закона больших чисел являются теоремы Чебышёва и Бернулли. Их доказательство базируется на весьма общей лемме, известной под названием неравенства Чебышëва.

Неравенство Чебышëва

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания M (X ) по абсолютной величине меньше малого

положительного числа ε , больше или равна 1− D(X )/ε 2 :

P( X − M (X ) <ε)≥1− Dε(X2 ) .

Неравенство Чебышëва дает верхнюю оценку для вероятности отклонения значений случайной величины от своего математического ожидания.