86

Пусть имеется последовательность независимых случайных величин

X1, X 2 , X 3 , X n , ≡{X n }.

Говорят, что последовательность {X n } сходится по вероятности к величине a (случайной или неслучайной), если при любом ε > 0 имеет место равенство

Lim P( X n − a <ε) =1.

n→∞

Теорема Чебышëва

Если {X n } - последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены одним и тем же постоянным числом С : D(X1)≤ C, D(X 2 )≤ C, D(X n )≤ C, , то каково бы

ожиданию.

Хотя случайные отклонения отдельных величин Xk от своих математических ожиданий могут быть существенны и разного знака (как больше, так и меньше нуля), но в среднем арифметическом (это тоже случайная величина), они взаимно погашаются. Поэтому при достаточно большом n среднее арифметическое значение случайных величин X практически уже не случайно и с вероятностью, близкой к достоверности, может приниматься в качестве приближенной оценки математического

практической деятельности способ многократного измерения изучаемой случайной вели-чины с тем, чтобы получить ее значение, близкое к истинному.

87

Теорема Бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно утверждать, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота W появления события сходится по вероятности к его вероятности p:

lim P(W − p <ε =1.

n→∞

Следовательно, теоремой Бернулли доказывается свойство устойчивости относительной частоты, которое раньше (см. пример с многократным подбрасыванием монеты) рассматривалось как эмпирический факт.

Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение

По точной формуле P( X − a <δ) = 2Ф(δ σ) имеем

P( X − a >δ) =1− 2Ф(δ σ) =1− 2Ф(2σ σ) =1− 2Ф(2) = 0,045.

Пример. Событие А происходит в каждом опыте с вероятностью 0,2. Оценить (с помощью неравенства Чебышёва) вероятность того, что число появлений события А в 1000 независимых опытов будет заключено в пределах от 200 до 300.

Решение. Число появлений события А в 1000 независимых испытаний – случайная величина Х с математическим ожиданием

Наибольшая разность между заданным числом появлений события А и его средним значением М(Х) равна ε = 300 − 200 =100.

Применяя неравенство Чебышёва, получим

Пример. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см (в поле допуска).

Решение. По условию ε = 0,5.

5.2. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)

В отличие от закона больших чисел, объектом рассмотрения которого являются случайные величины, центральная предельная теорема

89

рассматривает их законы распределения и устанавливает условия, при которых возникает нормальный закон распределения:

Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, распределенных по различным законам, причем влияние каждой из них на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

В частности, если X1, X 2 , X n - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения (не важно какой) с

Условия справедливости центральной предельной теоремы выполняются очень часто, например, в теории ошибок измерений, теории стрельбы и т.д., что и объясняет особую роль нормального закона.

В практических задачах центральная предельная теорема часто применяется для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах.

Если {X k } -последовательность независимых случайных величин с

сравнимы по порядку своего влияния на сумму, то вероятность попадания